Таблица II

в среднем квадратическом. Но если случайные функции ведут себя достаточно правильно, то эти производные являются в то же время и почти достоверными производными. Поэтому с вероятностью, равной единице, их можно отождествить с производными в том смысле, как они понимаются в анализе, которые экспериментатор может вычислить при каждом отдельном испытании.

9.2.12. Энергетический спектр. Рассмотрим вначале, каковы исходные положения при физическом подходе к вопросу об энергетических спектрах. Наиболее наглядны в данном случае оптические явления, при которых частота колебаний непосредственно доступна восприятию наших органов чувств, поскольку она отождествляется с цветом. Чтобы получить понятие о спектральном распределении энергии, достаточно представить себе прохождение светового излучения через цветной экран или, лучше, разложение светового луча с помощью призмы. Этот опыт непосредственно приводит нас к понятию спектрального распределения средней энергии. Можно выделить полосу спектра, заключенную, например, между частотами Vj и Vg, и. измерить термопарой мощность W, соответствующую этому диапазону частот. Можно сделать то же самое с другой полосой частот vJ, v, не имеющей общей части с Vj, (одна, например, в красной части спектра, другая - в синей); ей соответствует мощность W. Если наложить друг на друга излучения, относящиеся к обеим полосам частот, и снова измерить среднюю мощность, то получим мощность W-\-W. Таким образом, средние мощности, относящиеся к разным частотам, складываются, или, иначе, средняя энергия взаимодействия между отдельными частотами отсутствует.

Эти чисто экспериментальные заключения приводят к тому, что оказывается возможным приписать некоторую среднюю энергию каждому интервалу частот. Естественно ввести функцию §( ) которую назовем функцией спектрального распределения энергии, со следующими свойствами:

а) ,5 (у) равна средней энергии (или средней мощности), соответствующей интервалу частот [О, v];

б) g(0) = 0, и можно положить, что g(\)=:0 при v < 0;

в) g(v) может только возрастать вместе с v, так как любой полосе частот соответствует энергия либо положительная, либо нулевая;

г) 8(оо) =

Функция вводилась различными способами. В чисто математических

исследованиях, таких, как работы Бёхнера и Хинчина, строго доказано существование функции имеющей -перечисленные свойства, но доказа-

тельства эти абстрактны и не имеют наглядного физического смысла. С другой стороны, имеются работы, в которых существование функции обосновано путем соображений, очень наглядных с точки зрения физика, но недостаточно строгих математически. Авторы этих работ предполагают, что случайная функция X {t) разложима в ряд Фурье, или по крайней мере представляют функцию x(t) в виде ряда Фурье на очень большом интервале [-Т; Т\.

Такое введение ряда Фурье в явление, которое, вообще говоря, не является периодическим, довольно произвольно и приводит к рассуждениям, спорным с математической точки зрения. Способ, который мы предлагаем, представляется нам способным примирить стремление к математической строгости с желанием сохранить физический смысл изучаемого явления.

Сейчас мы покажем, каким образом можно точно определить функцию g(v) по корреляционной функции.

Переведем для этого на язык математики представления, очевидные с точки зрения физики. Что бы мы сделали прежде всего, если бы захотели произвести в лаборатории энергетический анализ тока флуктуации xit)f Мы бы его профильтровали через избирательный усилитель, пропускающий только заранее выбранную полосу частот, энергетическое содержание которой нам нужно измерить. Усилитель преобразовал бы x{t) в y{t), и энергия на выходе фильтра была бы равна у. Основное свойство фильтров с точки зрения математики состоит в том, что они являются стационарными линейными системами, характер работы которых остается неизменным с течением времени.

Введем ответ R{t) фильтра на единичный импульс, приходящий в момент = 0. Известно, что функцию на выходе у (t) можно получить по сигналу х (t) с помощью уравнения

y{t)= x{b)Rit - %)MW.{x{t)\. . (79)

Напомним, что собой представляет преобразование Sft, с помощью которого линейный фильтр переводит случайную функцию x(t) в случайную функцию y(t). Конечно, в реальном фильтре, т. е. в фильтре, который можно экспериментально осуществить в лаборатории, функция R(t) не произвольна. В частности, функция Rit) должна быть тождественно равна нулю при < 0. так как следствие не может опережать причину (п. 9.2.1). Кроме того, свойства электрических цепей требуют, чтобы функция R (t) при > О была равна линейной комбинации экспонент. Очевидно, что при этом преобразование SR[a:(0] представляет собой линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Здесь мы обобщим понятие фильтра: пренебрежем перечисленными условиями, налагаемыми на R(t), и постараемся выяснить математический смысл преобразования (79). В частности, не будем требовать, чтобы функция R (t) была равна нулю при < 0. Мы лишь наложим на нее условия, имеющие целью обеспечить существование несобственного интеграла с бесконечными пределами, входящего в выражение (79),

а именно предположим, что функция R(t) абсолютно интегрируема в бесконечных пределах. При этом интеграл, входящий в выражение (79), сходится с вероятностью, равной единице.

Так же, как в теории линейных усилителей,- удобно исаользовать преобразование Фурье для функции R(t):

G(v)= J e-R{t)dt,

(80)

гдеО() - комплексный сомножитель, называемый частотной характеристикой стационарной линейной системы. Через g (v) мы обозначим его модуль, а через (у) - его аргумент. Предположение об абсолютной интегрируемости функции R требует, чтобы функция g-(v) была гладкой, в частности, нельзя пользоваться кривой усиления, изображенной на рис. 9.16, а, но можно

х О

Рис. 9.16.

пользоваться сколь угодно близкими к ней кривыми усиления типа кривой, изображенной на рис. 9.16, б. Функция G(v) в случае фильтра, представленного функцией g(y) на рис. 9.16, б, тождественно равна нулю вне интервала Vj - е, Vg-j-s, где s сколь угодно мало.

Впрочем, более широкое толкование, на подробностях которого мы не будем останавливаться, позволяет рассматривать математические фильтры гораздо более общего типа, в частности с функцией giy), представленной на рис. 9.16, а.

Физический смысл функции g{y) ясно виден на примере преобразования синусоидальной функции

Ш [sin 27uv/f] = g (v) sin [2irv + cp (v)].

(81)

Можно заметить, что при синусоидальном сигнале его эффективная величина при прохождении через фильтр умножается на g(v). Для частоты v передаваемая энергия равна приходящей, умноженной на коэффициент энергетической передачи, а именно на giy)- Это замечание проливает свет на весь механизм избирательности: меняя g(S) можно отдавать предпочтение одним частотам и заглушать другие.

После сделанных замечаний мы сможем ввести функцию спектрального распределения энергии %{у). Для простоты будем предполагать, что корреляционная функция р(т) имеет в качестве коэффициента преобразования Фурье А (у) - непрерывную функцию от v, абсолютно интегрируемую i).

) Эти предположения делаются здесь лишь для простоты. Они несущественны для возможности определения функции спектрального распределения g (). Кроме того, можно сказать, что с точки зрения практики эти ограничения несущественны. В частности, они законны, если корреляционная функция р (т) и две ее первые производные существуют и являются абсол.ютно интегрируемыми. Пользуясь языком