p(z) = j А (v) cos 2тт d4.

(82)

Вычислим среднюю энергию на выходе фильтра. Возводя в квадрат обе части выражения (79) и определяя их средние значения, получим

со со

у2 = ж j x(Q)R(t-G)dG f x(G)R(t - b)dG

CO -op

oo CO

у2 = ж j f xie)xie)R(t - G)R(i-B)dQdQ . (83)

--CO -oo

oo CO

у2= j j M[x(Q)x(0)]R(t-G)Rit - G)dedG.

-OO -oo

M [x (6) X (601 = p (6 - 6) = j A (v) cos 2irv(e - 6) rfv, (84)

откуда

CO CO г CO

y2 = Re

-CO -oo lo CO CO oo

R(u)R(u-t)dudT,

(85)

j j j Л (v) /? (и) eiR (и - z) e-2>tyv( -4 au dx dy

-CO -OO 0

Так как функции R а A абсолютно интегрируемы, то можно переменить порядок интегрирования, и тогда мы получим следующую окончательную формулу:

у2 = j Л (v) j R(u) e du j Riu - x) e-i-< -> d (u - x)

Отсюда, вспоминая определение для функции G(v) - формулу (80) - и учитывая, что квадрат ее модуля g(y) равен произведению функции G(v) на сопряженную с ней комплексную величину, стоящую в первых квадратных скобках, получим

у2 = j Л()2().

(86)

Соотнощение (86) является фундаментальным, так как показывает, что коэффициент А{\) обязательно положителен или равен нулю. Действительно,

оптика, можно сказать, что изучение непрерывных спектров возвращает нас в рамки этих предположений. Но спектр, содержащий линии в математическом смысле слова т. е. бесконечно тонкие, не удовлетворяет им. Напомним также, что рассуждения которые будут дальше сделаны в рамках этих предположений, без труда распространяются на самые общие случаи.

Так как р(-с) функция четная, то преобразование Фурье приведется к виду

На основании принятых гипотез о корреляционной функции p(-z) удалось решить задачу определения функции спектрального распределения энергии. Эти гипотезы соответствуют тому, что в оптике называется непрерывным спектром. Случаем непрерывного спектра мы и ограничимся. Полученные в этом пункте результаты могут быть распространены на самый общий случай, и всегда можно поставить в соответствие корреляционной функции р(т) некоторый спектр частот; но этот спектр может быть более или менее сложным и, в частности, может содержать линии, т. е. такие частоты, которым соответствует конечная энергия.

Напомним основные соотношения, которые для случая непрерывного спектра связывают между собой величины р, Л h.5(v):

р () = J Л (v) cos 2т:\ rfv, (89а)

) Величина А (у) существенно подчинена условию быть неотрицательной и давать

конечную полную энергию J А (м) dy. Всякая функция, для которой преобразование

Фурье удовлетворяет этим условиям, очевидно, является корреляционной функцией.

если функция А(\) отрицательна вблизи какой-то частоты v, то. выбрав для 9 фильтр, пропускающий только частоты, соседние с \, мы сделали бы правую часть выражения (86) отрицательной, что невозможно, поскольку речь идет о дисперсии. Следовательно, коэффициент А.(\) положителен или равен нулю. Поэтому можно толковать величину rfg(v) = Л(v)йv как элементарную энергию. Если учесть, что коэффициент передачи энергии равен g(), и вспомнить о понятиях, изложенных в начале п. 9.2.12, то приходим к следующему истолкованию соотношения (86), законность которого вытекает из приведенных выше рассуждений. Для случайной функции x(t) полосе частот (v. v--rfv) соответствует средняя энергия rfg (v) == Л (v) rfv. После преобразования эта энергия умножается на коэффициент передачи g2(v) при частоте v и становится равной g(v)rfg(v); полная переданная энергия получится, если произвести суммирование по всем элементарным полосам частот. Это и есть интерпретация основного соотношения (86), в котором выражено содержание весьма важной теоремы Бохнера и Хинчина.

Итак, если корреляционная функция р(т) имеет непрерывный и абсолютно интегрируемый коэффициент преобразования Фурье Л(v), то функция Л(v) обязательно положительна или равна нулю). Функцию Л (v) можно толковать как спектральную плотность энергии, а функция спектрального распределения энергии g(v) есть интеграл Л(1):

. . g(v) = Jл(v)rfv. (87)

Очевидно, что g(0) = 0; функция §(v) может только возрастать; при v==oo снова получим полную энергию. Действительно,

х2 = р(0) = ]Л()Й=?5(-Ь сх,). (88)

(896)

Соответствие между p(i) и А (у)-это соответствие преобразования Фурье. Свойства его являются классическими. Свойства моментов второго порядка определяются в одинаковой степени как корреляционной функцией p(i), так и спектральной плотностью А{у).

Примечания. 1. Предположим, что интеграл yA(y)d\ сходится.

Исходим из соотношения

р (т) == j А (v) COS 2!syx d\.

Здесь можно дважды произвести дифференцирование под знаком интеграла. Это позволяет вывести два следствия:

) Р существует при всех т и, в частности, при т - 0. Существует, следовательно, производная в среднем квадратическом от функции x(t), о которой известно, что ее корреляционная функция равна - р (с).

б) Имеем

- p (i:)= j4ii:2vM(v)cos2ii:vTrfv. (90)

откуда следует, что спектральная плотность для производной х{f) равна 47c2vM(v). При каждом значении v вычисления производных выполняются так, как если бы речь шла о чистой синусоиде. Известно, что при дифференцировании функции sin 2itv появляется сомножитель 2т:ч.

2. Из предыдущих расчетов мы узнали величину у средней энергии на выходе фильтра. Аналогичные расчеты могут нам дать корреляционную функцию на выходе. Укажем на главные промежуточные этапы этого важного вычисления:

со со

M[y{t)y{t~-\)\= С M{x{()x{b)\R{t - b)R{j; - \~b)dfd%. (91)

- оО -СО

оо оо - л.

M[y{t)y(t~V,\= f j p(T)R(u)R{u-x-l)dudz. (92)

-СО -со со

М [у (О у ( - X)] = J л (V) g-2 (у) COS 2irvX dy. (93)

Соотношения (92) и (93) позволяют вычислить корреляционную функцию преобразования Я [л: (01 либо как функцию от А (у) и g{y), либо как функцию от р(т) и R(t). Сравнив соотношения (93) и (89), видим, что спектральная плотность на выходе равна произведению Л (v) (v). Этот вывод можно сразу объяснить, заметив, что коэффициент передачи энергии при

откуда, обращая формулы Фурье, получаем

л (v) = 4 J р (т) cos dl,