(v) = -

Находим

р(х)=е . (94)

На рис. 9.1.7 представлены кривые р() и А(ч) для больших значений (сплошные линии) и для малых значений z (пунктир). Вернемся к уравнению

Л (v) = 4 J р (х) cos 2ii:vx dx

частоте v равен §{ч) и что A(\)d\ - это энергия, соответствующая для функции x(t) полосе частот (v, v-f-rfv). С точки зрения энергетики разные частоты взаимно независимы в линейных системах, представленных преобразованием St. Получаем простое и важное правило; при преобразовании стационарной случайной функции стационарной линейной системой ее спектральная плотность умножается на квадрат модуля частотной характеристики,

9.2.13. Передача энергии стационарной линейной системой. Для уточнения задачи рассмотрим конкретный пример. Прилагаем флуктуирующее напряжение x(t) на входе линейного усилителя. Тогда на выходе первого усиливающего каскада мы получим флуктуирующее напряжение Xi{t), на выходе второго каскада - флуктуирующее напряжение X2{t) и т. д. Энергетические свойства x{t) выражаются заданной корреляционной функцией Рд-(т) или заданной спектральной плотностью Aj(\). Энергетические свойства xlt) определяются заданием Pjt) или А (уу, энергетические свойства XgC/)-заданием р() или А(\) и т. д. Задача состоит в том, чтобы подробно проследить изменения энергетических свойств, т. е. в том, чтобы перейти от р() [или Л()] к рСс) [или Л ()]. а затем к р-Дт) [или и т. д.

При этом собственными флуктуациями усилителя мы пренебрегаем. Достаточно, очевидно, решить этот вопрос для одного каскада. Формулируя задачу в более общих терминах, можно сказать, что мы рассматриваем стационарную случайную функцию х {t) и заставляем ее претерпеть линейное преобразование y{t)=dllx{t)]. Требуется перейти от энергетических свойств функции X (t) (т. е. от pj и Aj) к энергетическим свойствам функции у (t) (т. е. к ру и Ау). Ранее мы указали все соотношения, которые при этом необходимо использовать. Однако представляется полезным придать последовательности соотношений более систематический вид и для этого расположить наиболее важные соотношения в виде схемы. Линейное преобразование можно определить через его частотную характеристику О (v) или через его ответ R{t) на единичный импульс. Полезно отметить, что в подобного рода энергетических задачах частотная характеристика 0(v) входит только через ее модуль g(v). Нужные соотношения сведены в схему (на стр 651)

Замечания. Для упрощения описанных выше расчетов полезно сделать несколько практических замечаний.

1. Корреляционные функции, вводимые в приложениях, стремятся всегда к нулю при больших значениях т, потому что x(t) и x(t - т) стремятся стать взаимно независимыми. Можно сказать, что случайная функция x(t) обладает статистической памятью , тем меньшей, чем быстрее р{) стремится к нулю. Из соответствия, определяемого формулами (89), легко заметить, что при прочих равных условиях чем больше статистическая память явления, тем более ограничен его спектр частот. Возьмем для примера, энергетическое распределение, определяемое спектральной плотностью

Данные, относящиеся к сигналу X (О

Рл- ( ) = JA-W COS 2я1: О

с >

W = 4 J Рл- С) cos 2ямт: dx О

Данные, относящиеся к линейному преобразованию 9i

(.)=СМ

G(v) = J (О

Методы расчета

Расчет коррелящ1Й \ Расчет спектральных / плотностей

Результаты, относящиеся к функции на выходе у (t)

оо со

(Х)=- J J Рл-(т)/?(к)/?(к -Т -X)dttdT

Ау{у)А{у) g (v)

- CO -CO

Vy (h)

Pj, (k) = j Ay (v) cos 2т.у1 dv = J Aj, (v) (v) cos 2itivA dv

() = 4 J pj, (k) cos 27tv?i dX

Л (у)

CO CO . CO CO

-cx) -co

- . Меняя параметр Тд, мы

сможем по своему произволу вытянуть или сжать вдоль оси времен кривую, представляющую корреляционную функцию. Тогда, если обозначить через

Рис. 9.17.

л(1, V) функцию л(v), относящуюся к значению Iq, предыдущее соотношение можно записать в виде

( о V) = 4 р cos 2ivvt d-z

л (to, )=4т:о p(e)cos2itVT:(,ede.

(95)

(96)

Видим, что с точностью до числового множителя 4хо функция Л(хо, v) зависит только от произведения vxq. Поэтому

Л (ip, у)

4т -

4Хт:п

(97)

Знаменатели 4xq и 4Ххо соответствуют растяжению кривой Л вдоль оси ординат. Если не обращать внимания на это явление, а учитывать только большее или меньшее растяжение вдоль оси частот, то можно заметить, что заставляя кривую р(х) растягиваться вдоль оси х, мы заставляем кривую А{у) в том же соотношении сжиматься вдоль оси частот. Случайная функция с большой статистической памятью имеет в большинстве случаев относительно узкий спектр, и наоборот.

2. Предположим, что на входе усилителя, характеризующегося своей реакцией R(t) на единичный импульс, приложено стационарное случайное напряжение x{f) второго порядка с корреляционной функцией р.(х). Корреляционная функция на выходе будет Ру(Х). Переход от одной к другой производится с помощью соотношения

Ру(Х)== J / р(х)/?(и)/?(и-x -Х)йГийх.

(98)

Не затрагивая вопросов математической строгости, поясним, что именно происходит в авух предельных случаях.

1) Усилитель с большой постоянной времени. Более точно, рассмотрим усилитель, постоянная времени которого велика по сравнению со статистн-