/ Rdb

(100)

в этом случае усилитель определяет только числовой множитель, а корреляционная функция на выходе имеет тот же вид, что и на входе. В обоих случаях то явление, в котором изменение происходит более медленно, определяет вид корреляционной функции.

В частности, если мы наблюдаем явление электронных флуктуации, при которых корреляции становятся практически равными нулю за короткое время или, во всяком случае, за время, гораздо меньщее, чем постоянные времени нащих приборов, то корреляционная функция флуктуации зависит только от наблюдающих приборов, а не от характера начальных флуктуации.

3. Можно повторить предыдущие рассуждения, переведя их на язык спектральной плотности. Тогда

Лy(v) = Л(v)g2(v);

видим, что ход кривой Ayiy) зависит от того, насколько избирательно явление, т. е. от того, насколько тесно оно связано с частотой. Если, в частности, случайная функция x(t) представляет какое-либо молекулярное или электронное явление, не имеющее преимущественных частот, то функцию Л (v) можно заменить постоянной. Впрочем, согласно замечанию 1, можно сказать, что спектральная плотность А{у) постоянна вплоть до очень больших частот или что корреляционная функция p(t) практически становится равной нулю, как только т становится больше некоторого малого значения tj. Когда это случается, мы говорим, что имеет место микроскопическая корреляция.

4. Мы видели, что в случае молекулярных или электронных явлений корреляция зависит только от приборов наблюдения. Это означает, иными словами, что спектральная плотность, соответствующая явлению в чистом виде, не зависит от v. Можно сказать, что спектры этих явлений имеют одинаковое, по отношению к частоте, энергетическое распределение плотности. В частности, так же обстоит дело и с флуктуациями электродвижущей силы e{t) на концах некоторого сопротивления R.

ческой памятью функции x{t). Это означает, что существуют значения а

а оо

такие, что jpji:()di весьма мало отличаются от j Px()dt, хотя R(a.)

-а -со

практически не отличается от R(0) или, лучще сказать, хотя R(u+ix) мало отличается от R{u). При этом соотнощение (98) дает (если не останавливаться на вопросе о сходимости)

сх оо

РуМ= f Pxi)d f Riu)R(u-l)du. (99)

- со -CO

Первый множитель - число, не зависящее от X. Только второй множитель определяет вид функции Ру(Х). Итак, вид корреляционной функции на выходе определяется усилителем, так как от величины сигнала зависит только числовой коэффициент.

2) Усилитель с малой постоянной времени. Рассуждая так же, как и раньще, получим

Рассмотрим теперь контур, состоящий из сопротивления и щунтирован-ного конденсатора (рис. 9.18). Будем считать, что электродвижущая сила с флуктуацией e(t) последовательно подключена к сопротивлению R.

Определим разность потенциалов V{t) на зажимах А п В конденсатора. При ЭТОМ преобразование e(t) в V(t) происходит с помощью частотной характеристики .

G(V):

J-2mCR

V(t)

откуда

Следовательно,

Рис. 9.18.

1 4 22С.у(2

Но из предыдущего видно, что А{у) - постоянная, не зависящая от v. Можно поэтому вынести ее из-под знака интеграла:

-eWJ 1 j 4н22С2/?2 2 2nCR

Принцип равномерного распределения энергии приводит к соотнощению

где k - постоянная Больцмана, а Г - абсолютная температура. Сравнив два предыдущих выражения, находим

(у) = kRT;

это соотношение представляет собой формулу Найквиста.

9.2.14. Недостаточность рассмотрения моментов второго порядка и корреляционной фу.чкции. Все, о чем говорилось в пп. 9.2.8-9.2.13,

ограничивалось рассмотрением моментов второго порядка, иначе говоря, энергетических свойств стационарных случайных функций. Мы видели, что это рассмотрение можно вести двумя параллельными путями, пользуясь либо корреляционной функцией, либо спектральной плотностью. Обе эти функции представлялись нам до еих пор весьма сильными инструментами для изучения энергетических свойств во всех; звеньях стационарной линейной системы. Но в большинстве случаев дей-

Рис. 9.19.

ственность их исчезает, как

только потребуется вычислить I 1 I I Z \ I 3 \-*~X(t)

что-нибудь .помимо моментов второго порядка или рассмотреть нелинейные системы. Приведем пример. Рассмотрим установку,

изображенную на рис. 9.19. Она может служить для усиления фотоэлектрических токов. В ней имеется линейный усилитель (/), квадратичный выпрямитель у = л:2 (2) и гальванометр (S). Гальванометр представляет собой линейную систему. Чтобы вычислить дисперсию флуктуации зайчика гальванометра, требуется знать корреляционную функцию у {t) у (t - 6) выпрямленного

x(t)x(t - z)->x(t)-x{t - t) = Qi. (101)

Поэтому часто стремление х к бесконечности влечет за собой одновременно и стремление x{t)x{t - х) к нулю и стремление x{t) и x{t - х) к независимости. Мы можем также сказать, что если спектр богат низкими частотами, то он соответствует режиму медленных флуктуации, т. е. представляет собой режим с большой статистической памятью.

Однако все эти замечания весьма нечетки, и легко привести большое число примеров, которые позволяют выявить их неубедительность. В частности, не следует забывать, что две случайные величины могут быть очень тесно связаны и в то же время иметь нулевую корреляцию. Рассмотрим в качестве примера стационарную случайную функцию

x{t) = cos{(ut-{-f), (102)

где <р - случайная величина, принимающая с одинаковой вероятностью любое значение от О до 2тт. При этом

р (х) = х>) xit - i) = cos шх, . . (103)

где р(х) обращается в нуль, в частности, при шх = -. Было бы совершенно

неправильно заключать из этого, что x{t и [i+j взаимно независимы. Действительно,

x(/,)=cos(to, + (p) и x(,-4--j = -sin(to,-4-9).

Между X (i) и x\ti-\- 2j существует соотношение, не зависящее от <р:

[x(i)P-h[x(i + -)] = 1. (104)

Знание величины х {t определяет абсолютную величину х { + j .

Следовательно, между этими случайными величинами имеется строгая (неслучайная) связь, и, однако, они не коррелируют. Не нужно упуск.ать из виду, что сама по себе корреляционная функция имеет только энергетический смысл (т. е. определяет только моменты второго порядка). Две случайные функции не коррелируют между собой, если у них нет энергии взаимодействия. Но это не означает, что они взаимно независимы, как видно из предыдущего примера. Как мы увидим ниже, в некоторых случаях, которые с точки зрения математики следует рассматривать как частные случаи, но которые тем не менее включают в себя многочисленные задачи о флуктуациях, поставленные физикой, корреляционная функция полностью характеризует все статистические свойства х() и тогда вполне оправдывает свое название.

напряжения. Если предположить, что выпрямитель квадратичен, то нужно знать момент x(t)x{t - 6). По отношению к функции x(t) - это момент четвертого порядка. Если бы характеристика выпрямителя была у - х, потребовалось бы для функций x{t) знать момент порядка 2р. Изложенные ранее формулы не позволяют вычислять моменты порядка выше второго.

До сих пор корреляционная функция служила инструментом для вычислений, но в строгом смысле слова не оправдывала своего названия, предполагающего непрерывность явлений во времени. Оценивая качественно, можно сказать, что часто,. если х достаточно велико, то х(р) и x{t - т) становятся практически независимыми, так что