Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 [ 213 ] 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

1 1

dP = ---e dx, (105)

причем

ox-itO-

Выяснив эти предварительные обстоятельства, займемся изучением случайной функции, приведенной в конкретном примере п. 9.2.1. Речь идет о флуктуациях напряжения на выходе линейного усилителя под действием дробового эффекта сигнала, который мы назовем, с макроскопической,точки зрения, постоянным током. В конечном счете, нам нужно рассмотреть случайную функцию

tj < + со

х(0= Е eR{t~tj)= 2 eR{t - tp.

Ij <t Ij >-oo

Это происходит в тех случаях, когда x{t) представляет собой стационарную случайную функцию Лапласа - Гаусса. Мы поясним свойства этих функций на конкретном примере флуктуации, возникающих на выходе линейного усилителя под действием дробового эффекта постоянного тока, приложенного на входе.

Стационарные случайные функции Лапласа - Гаусса. Применение к чисто дробовому эффекту

Все последующие рассуждения относятся к флуктуациям, возникающим под влиянием чисто дробового эффекта. Об этом же щла речь в п. 9.2.1. Сущность задачи будет изложена на примере, предназначенном сделать изложение более конкретным. Но выводы будут иметь весьма общее значение, что не ускользнет от внимания читателя.

.9.2.15. Общие замечания. В начале этой главы приводился пример, связанный с извлечением щаров из- урны с неограниченным числом белых и черных щаров. Если произвести очень большое число N извлечений наудачу и если р и д=1 - р - соответственно вероятности появления белого и черного шаров при каждом независимом извлечении, то случайная величина n(N), равная числу белых шаров, появившихся при N извлечениях, приближенно подчиняется закону нормального распределения, причем погрешность этого приближения можно сделать сколь угодно малой при достаточно большом Л. Указанное нормальное распределение группируется вокруг математического ожидания n(N)==Np, а его среднее квадратическое отклонение равно YPI- Этот пример представляет собой частный случай гораздо более общего результата (центральная предельная теорема).

Пусть N - число независимых случайных величин, а 5 - их сумма. Предположим, кроме того, что относительный вклад в сумму 5 калсдой из этих величин весьма мал или, по крайней мере, весьма мал во всех случаях, за исключением очень маловероятных. При таких условиях для достаточно большого N .сумма .S подчиняется нормальному закону распределения с соответственно выбранным центром. Например, если случайное явление x(t) является результирующим для очень большого числа независимых элементарных явлений, то в большинстве случаев можно сказать, что в любой момент tl величина x(ti) будет подчиняться нормальному закону распределения. Тогда, предполагая x{ti) = 0, для вероятности того, что выполняется неравенство

Xix{ti)Xi-+dx\.

будем иметь



Естественно, мы не хотим вводить каких-либо преимущественных значений Г, и распределение значений tj должно быть сделано для бесконенного интервала от t~ - оо до t = -\- оо. Поэтому за характеристические свойства распределения мы примем такие свойства, которые можно получить, переходя к пределу при Гоо.

Предельные свойства заключаются в следующем:

1. Вероятность Р того, что за любой промежуток времени Д произойдет п электронных ударов, подчиняется закону Пуассона (п. 9.1.18). Иначе говоря,

Р{п; tt) = -. где 11=роМ. (106)

2. Имеет место взаимная независимость между промежутками времени, у которых нет никакой общей части (разъединенные промежутки времени). В частности, если Д/j и Д2 - разъединенных промежутка, то вероятность того, что за произошло п а за Д2 - h электронных ударов, равна

Pin 2.- Ai. M2) = P(ni; Ati)Pin2, М). (107)

Распределения, свойства которых мы сейчас уточнили, называются распределениями Пуассона. Установив таким образом свойства последовательности моментов tj, можно полностью изучить случайную функцию x{t) и,

в частности, вычислить функцию распределения F (Xj, Х2.....Хд,; t t.....t\

Мы ограничимся указаниями, справедливыми в частном случае, который крайне важен в приложениях.

Усилитель обладает некоторой инерцией, и можно связать с ник постоянную времени Хр. Нас интересует только порядок ее величины. Среднее число электронных ударов за время Хц равно рцХц. Ясно, что характер явления будет очень различным в зависимости от того, мала величина рцХд или велика по сравнению с единицей. Большое рХд означает, что колебание.

Последовательность значений tj представляет собой последовательность случайно распределенных моментов времени. Что понимается под выражением случайно распределенные моменты? Сейчас мы это уточним, не входя в тонкости математических рассуждений. Очевидно, речь идет о распределении, статистические свойства которого стационарны, поскольку рассматриваемые нами электроны составляют макроскопически постоянный ток, определенный от t - - оо до = --ос5. Рассмотрим очень большой промежуток времени Т и пусть - число происходящих за то время электронных ударов. Утверждая, что существует плотность рц, мы тем самым говорим, что при доста-

точно больших Т частное -у- будет мало отличаться от величины рд. Если Т

достаточно велико, то приближенно будем иметь N - pT электронных ударов.

Выберем очень большое значение Т и возьмем рТ точек, которые предположим распределенными случайным образом в промежутке Т. Для этого рассмотрим последовательность из N независимых испытаний. Каждое из них состоит в выборе точки отрезка Г, причем вероятность поместить эту точку

на любой отрезок Дл; (внутри отрезка Т) равна -у-. После осуществления N

таких испытаний можно вычислить вероятность того, что п любых точек находятся в отрезке Дх внутри отрезка Т. Эта вероятность равна



вызванное электронным ударом, практически еще не начало затухать, когда произошел новый удар, иначе говоря, значение х (t), наблюдаемое в момент t. зависит от очень большого числа ударов, происшедших в близком прошедшем по отношению к t. Малое рТр означает, напротив, что колебание, вызванное столкновением, практически уже затухло, когда последовал новый удар. Значение x(t) зависит главным образом от момента удара, непосредственно предшествующего t. Заметим для ясности, что если мы имеем дело с усилителем, обладающим достаточно большой избирательностью, то в зависимости от величин PqIq мы получим промежуточный случай между крайними случаями, представленными на рис. 9.20.

Уточним порядки величин. Рассмотрим для примера усилитель с небольшой постоянной времени Хо=10 *. С другой стороны, возьмем ток с силой в 10~А, который может считаться слабым в большинстве приложений.

Рд tp малое

Рис. 9.20.

Соответствующее значение PqIq . равно 60 000. Этого примера достаточно, чтобы показать, что в повседневных случаях произведение рТр будет очень велико. Значение x{f) в момент t- зависит теоретически от всех электронных ударов, предшествующих ti- На практике оно зависит только от столкновений в промежутке {t, t- - 8), где В - величина порядка, большего чем х. Так как рд-Сц очень велико, то в этом промежутке имеется много столкновений, соответственные положения которых взаимно независимы. Слагаемые eR{t - t-), отвечающие этим ударам, представляют собой независимые случайные величины, и можно предвидеть, что x(/i) будет по.цчиняться нормальному закону распределения. Это подтверждается и строгим рассуждением. Случайная величина х {t{) (предполагается, что х = 0: если х fc О, то те же рассуждения -следует применить к величине х - х) имеет плотность вероятности, определяемую формулой

P{x)dx=.\e-ax,

(108)

и характеристическую функцию

Ф{а)=е 2 .

Г109)

Кроме того, если, вместо того чтобы рассматривать один момент ty, исследовать k моментов t, t, ..., t, выбранных любым образом, то k случай-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 [ 213 ] 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251