Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу = х2(;) = а2 = р(0); Поэтому Aj = = (0 (tj) = Р (, - t,). Q(u и, Ui,)= 2 Р(ti - ij)-iij i = l, 2, ft y=l, 2, ft ф( и ..., ,)=г2М)ч (112) (113) Если нам нужно, снова перейти к закону распределения, то достаточно вспомнить, что плотность вероятности Pix х.....х) представляет собой коэффициент преобразования Фурье для характеристической функции Ф(Ир Kg, ...,и), как это следует из определяющего соотношения ф = ( ..+ --Vfe)= J J J ... J( ..+ -+Vfe)pxi ... dx. (114) В общем случае, если через jQ обозначить главный определитель квадратичной формы <5, а через <5 - обратнзЮ квадратичную форму, то (1. 2.....47iW (27.) 2 Напомним, что если коэффициенты квадратичной формы Q образуют квадратную матрицу [Л,-,-], то коэффициенты обратной квадратичной формы <5 образуют квадратную матрицу \Ац\, где Aij = j~, а ац - алгебраическое дополнение элемента Ац в определителе Q. Основное следствие предыдущих соотношений заключается в том, что закон распределения, которому подчиняются k случайных величин х х, .... х всегда можно полностью определить, если известна корреляционная функция! Корреляционная функция, которая в общем случае имеет только энергетическое значение, определяет теперь все статистические свойства случайной функции x{t). Именно потому, что многие случайные процессы, изучаемые в приложениях, описываются стационарными случайными функциями Лаплвса- Гаусса, корреляционные функции играют такую важную роль. В частности. ных величин х (t{), x(t,.....x{tj) подчиняются нормальному закону распределения для к случайных величин. Такие законы представляют собой обобщения нормального закона распределения, относящегося к одной случайной величине. Проще всего определить их, обобщая соотнощение (109), Можно сказать, что характеристическая функция нормального закона распределения для k случайных величин - это функция ф (Kj, ..., и). определяемая соотнощением типа ф( 1, 2, .... ,) = . > =Ч . (110) где <Э - неотрицательная квадратичная форма: <3(Ki. %.....и)= 2 AijUUf. (Ill) /=1, 2, к j=l,2....,k Коэффициенты Ац имею1; очень простой смысл. Мы уже видели, что коэффициенты разложения функции ф в ряд вблизи точки Kj = = - - непосредственно связаны с моментами. Следовательно, можем написать jc+iO; x2?=g2?1 . а ... (2-1), (116) где 9 -целое положительное число. Ь) k = 2. Рассматриваются две случайные функции x(t{) и x{t. Положим, что 6 = 1 - 2- Тогда Ф( . 2) = { ° . (117) причем очевидно, что а2 = р(0). Соответствующая плотность вероятности равна 1 р(0)[л: + л]-2рге1л-,д:2 2и Ар2 (0) - р2 (ly Сделаем несколько выводов из соотношений (117) и (118). 9.2.16, Связь явлений во времени. Возьмем фиксированное значение Ху и найдем условную плотность вероятности P(x,Xi) значения Х2, если известно Xj. Вероятность /(х X2)<Xi<X2 получения в моменты и значений х, и х (с точностью до dx и dx, равна, согласно правилу умножения вероятностей, произведению вероятности P(x{)dxy иметь в момент значение Xj (с точностью до £?Xj) на вероятность Pixjxdx иметь в момент 2 значение Х2 (с точностью до dx<, если известно, что в момент получено значение Xj (с точностью до dx-. Поэтому P(X2/x0rfX2 = %g. . (119) Отсюда, используя предыдущие результаты, получаем 2 02(6) 1 1 Р(0)-- P(Xo/Xi)rfXo=--L.--- 3-е р№ dxn. (120) /<°- Это снова закон нормального распределения. Математическое ожидание дается формулой 2=f-s = Pi. (121) а среднее квадратическое отклонение равно <.)-~Щ--УрУУ--- (122) Если 6 меняется от О до оо. то fi меняется от 1 до 0. шумовой фон в линейных усилителях приводит во всех случаях к режимам, описываемым стационарными случайными функциями Лапласа - Гаусса. Уточним предыдущие выводы, рассмотрев два частных случая А = 1 и k = 2. а) А=1. Мы уже получили выражения для характеристической функции и плотности вероятности. Разложение характеристической функции в ряд дает сразу же значение всех моментов. Как известно из. п. 9.1.13, На рис. 9.21 представлено изменение математического ожидания jC9 = pXj (/) и значений, отстоящих от него на одно среднее квадратическое отклонение в каждую сторону (2). Рис. 9.21 дает очень точное представление о том, что можно назвать непрерывностью явления во времени или еще статистической памятью функции x(:t). так как он показывает, каким образом знание значения влияет на возможность получения значения Х2. Можно заметить, что эта непрерывность явления во времени находится в прямой и исключительной зависимости от корреляционной функции, чем и оправдывается ее название; при этом не следует упускать из виду, что все сказанное справедливо только для стационарной случайной функции Лапласа-Гаусса. 9.2.17. Флуктуации в нелинейных системах. Обратимся снова к схеме на рис. 9.19. Мы уже видели, что изучение флуктуации после выпрямления требует зна- Рис. 9.21. функции Лапласа - Гаусса, то ния корреляционной функции У {t) у {t - z). Если речь идет о стационарной случайной вычисление этой корреляционной функции несложно во многих случаях, т. е. для довольно многочисленных вариантов характеристик выпрямителей. Приведем несколько примеров. /) Квадратичный выпрямитель {характеристика у = х). Математическое ожидание для выпрямленного тока разно у = ]==р(0). (123) Вычислим корреляционную функцию, ~y{t) - у (О- Имеем относящуюся к отклонению V{t)= Y{t)V(t - x)=r= [х2 (О - ХЦ [Х2 (t - z) - Х] = Х2 (О Х2 {t - z) ~ {xf. Момент четвертого порядка получается из разложения в ряд характеристической функции Ф{и %) для функщ1Й x{t и х {t при ti=t и t2~t-z. Применяя уже указанный метод, находим x\t)x{t - z) == 2р2 (т) -f р2 (0). (124) Отсюда Y{t)Y{t~z) 2р2 {Z). (125) Таким образом, корреляционная функция на выходе квадратичного выпрямителя равна удвоенному квадрату корреляционной функции на входе. Аналогичные расчеты позволяют рассматривать случаи характеристик более сложного вида, в частности, характеристики у = х {р - целое) или y=:fl-f ajX-t-CjX-f ... Вычисление моментов второго порядка V() Y{t-z)=.{y{t)-y){y{t-z)-у) сводится к вычислению моментов, которые получаются на основании разложения в ряд характеристической функции Ф(К, и. 2) Линейный выпрямитель. Если характеристика у -у(х) имеетйолее сложный вид, то вычисление моментов функции у уже нельзя свести к вычислению моментов функции х. Но тогда можно непосредственно вычислить момент y{t)y{t~z).
|