Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу исходя из плотности вероятности, относящейся к двум случайным величинам JCj = X (t) и Х2 = X -х). Положим yi = y{Xi) и у2=у(Х2); тогда со со y(t)y(.t - z) = 2= f f y{Xi)y(x2)P{Xi, X2)dx,dx.,. (Ш) - CO -CO Этот способ можно применять, например, к случаю линейного выпрямителя. Возьмем для пояснения линейный выпрямитель, выпрямляющий два полупериода переменного тока. Уравнение характеристики будет у=х. Если XjX2>0, то У1У2 = -1л:2, а если XjXj < О, то У1У2 = - XjXg, Отсюда легко выводим со со оо о yjy2=2j ХуХРХу X2)dxydx2 - 2J JxjX2P(x X2)rfX, dX2. (127) о о о -оо Заменяя вероятность РХу, х) ее выражением, полученным из выражения (118), имеем о о Р = р(т:), а=р(0), A = Ya? - i. 2}ХуХ2 dx,dx2, (128) Можно разложить выражение для yjyj в ряд по степеням отношения - - При этом получаем результат в следующем виде: 4а 2iz 1 +- 1 1 2-4-6 5 (129; . Прямое вычисление математического ожидания у дает Используя это соотношение, получаем У = iyi - у) {У2 - у) = У1У2 - (уУ- В конечном счете имеем для линейного выпрямителя, выпрямляющего два полупериода переменного тока: 4а ; р 1 -1 1- ~ -An ai 2- 1 I , а 2-4 3 (131) Мы в некотором смысле разложили спектр линейного выпрямителя на более простые спектры. В ряде случаев можно довольствоваться первым членом в квадратных скобках, т. е. членом, содержащим р. Это равносильно замене спектра данного выпрямителя спектром квадратичного выпрямителя. К,К,= 4а rpz Ы , й4 1 I , В I 1 = : (132) 12 - 2;г 9.2.18. Вычисление корреляционной функции на выходе линейного усилителя под действием дробового эффекта постоянного тока. Мы показали, что все свойства стационарной случайной функции Лапласа - Гаусса x{t) содержатся в корреляционной функции. Остается вычислить корреляционную функцию x{t)x{t - т) для случая флуктуации, вызванных дробовым эффектом в линейном усилителе. Для этого мы будем предполагать, что ось времен разделена на очень малые последовательно расположенные равные отрезки длиной в Д. Пусть rij - число импульсов е, расположенных в промежутке {tj, tj i). Так как п]эомежуток Д очень мал по отношению к постоянным времени усилителя, то реакция на совокупность электронных ударов, происшедших за время между tj и -.i (их число равно tij) будет равна njeR{t - tj). Уравнение +-СО x{t)=2.eR{t~tj) (52) - со мы заменяем уравнением + СО x(t)=.njeR{t - t,). (134) - ОО Если нас интересует отклонение X {t) - x {t) - х, то можно заменить tif на rij - п или, что то же самое, исключить нефлуктуирующую постоянную составляющую входного тока. Тогда X{t)={nj--n)eR{t~tj). (135) - ОО Вычислим p(t) = X{t)X{t - z)== 2 {nj~n){ni - n)eR{t - tj)R{t - z-ti). -сО<У <00 -co<i<co ,j3g Мы знаем, что переменные tij и ге взаимно независимы, если i и J - разъединенные промежутки. Отсюда следует, что {tij - п) {til ~п) = 0 при i Ф у. (137) Поэтому Р () = S ( ;-nf {t - ;.)R{t-z - t). Центральный момент второго порядка {rij - tif- вычисляется, и<?ходя из закона Пуассона, которому подчиняются rij (см. соотношение (106)). Находим {rij - nf - n - At, (138) Примечание. В случае выпрямителя, выпрямляющего только один полупериод переменного тока, мы нашли бы Gi(v)=: J Fy{t)e-i- dt. - со + CO G2(v)= J 2 (0 rf. - CO Теорема Парсеваля выражается соотношением оо со / Oi (V) G2* (у) dy= f Fi (t) К (О dt, , (140) -со -со где звездочкой помечена сопряженная комплексная величина. Если за Fy и принять вещественные функции R{t) и R(t - х), то вводя частотную характеристику G(v), получим Gi(v)=G(v) и Gg (V) = G (v) e- . Отсюда + 00 +СО J R(t)R(t - x)dt=j\G(y>)\eJd-. - со -со Тогда соотношение (139) запишется в виде со со р(т:)= j\lg(y)e-J= j 2e/g-2(v)cos2TcvT;rfv. где Ро - средняя плотность, т. е. среднее число электронов в секунду: Поэтому Устремляя к нулю, получаем в конечном счете со оо Р () = / PoeP (t) R it - х) dt ==el j R (t) R {t - т) dt. (139) -CO -oo Это уравнение следует сопоставить с уравнением (99). Явление флуктуации в чистом виде, т. е. до того, как ее исказила инерция усилителя, представляет собой явление с микроскопической корреляцией. Говоря точнее, при сколь угодно малом корреляция между двумя переменными (ге,- - ге) и (йу-п), соответствующими двум последовательным промежуткам времени ((, tj - ti-\~t) и (tj, tj-\-lt), равна нулю, как в выражении (137). Но мы знаем, согласно выражению (99), что р {%) принимает вид произведения постоянного числа, зависящего от начальной флуктуации, на функцию от т, зависящую от фильтра. Это мы и получаем на основании соотношения (139). Вычислим теперь спектральную плотность. Для этого достаточно применить теорему Парсеваля, которая заключается в следующем. Пусть Fit) и /2(0 абсолютно интегрируемые функции, ограниченные в промежутке от - со до -- оо, а Gj (v) и Gg (v) - их коэффициенты преобразования Фурье:
|