Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 [ 215 ] 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

исходя из плотности вероятности, относящейся к двум случайным величинам

JCj = X (t) и Х2 = X -х).

Положим

yi = y{Xi) и у2=у(Х2);

тогда

со со

y(t)y(.t - z) = 2= f f y{Xi)y(x2)P{Xi, X2)dx,dx.,. (Ш)

- CO -CO

Этот способ можно применять, например, к случаю линейного выпрямителя. Возьмем для пояснения линейный выпрямитель, выпрямляющий два полупериода переменного тока. Уравнение характеристики будет у=х. Если XjX2>0, то У1У2 = -1л:2, а если XjXj < О, то У1У2 = - XjXg, Отсюда легко выводим

со со оо о

yjy2=2j ХуХРХу X2)dxydx2 - 2J JxjX2P(x X2)rfX, dX2. (127)

о о

о -оо

Заменяя вероятность РХу, х) ее выражением, полученным из выражения (118), имеем

о о

Р = р(т:), а=р(0), A = Ya? - i.

2}ХуХ2

dx,dx2, (128)

Можно разложить выражение для yjyj в ряд по степеням отношения - - При этом получаем результат в следующем виде:

4а 2iz

1 +-

1 1

2-4-6 5

(129; .

Прямое вычисление математического ожидания у дает Используя это соотношение, получаем

У = iyi - у) {У2 - у) = У1У2 - (уУ-

В конечном счете имеем для линейного выпрямителя, выпрямляющего два полупериода переменного тока:

4а ; р

1 -1

1- ~ -An ai 2-

1 I , а 2-4 3

(131)

Мы в некотором смысле разложили спектр линейного выпрямителя на более простые спектры. В ряде случаев можно довольствоваться первым членом в квадратных скобках, т. е. членом, содержащим р. Это равносильно замене спектра данного выпрямителя спектром квадратичного выпрямителя.



К,К,=

4а rpz Ы , й4 1 I , В I 1

= : (132)

12 - 2;г

9.2.18. Вычисление корреляционной функции на выходе линейного усилителя под действием дробового эффекта постоянного тока. Мы показали, что все свойства стационарной случайной функции Лапласа - Гаусса x{t) содержатся в корреляционной функции. Остается вычислить корреляционную функцию x{t)x{t - т) для случая флуктуации, вызванных дробовым эффектом в линейном усилителе. Для этого мы будем предполагать, что ось времен разделена на очень малые последовательно расположенные равные отрезки длиной в Д. Пусть rij - число импульсов е, расположенных в промежутке {tj, tj i). Так как п]эомежуток Д очень мал по отношению к постоянным времени усилителя, то реакция на совокупность электронных ударов, происшедших за время между tj и -.i (их число равно tij) будет равна njeR{t - tj).

Уравнение

+-СО

x{t)=2.eR{t~tj) (52)

- со

мы заменяем уравнением

+ СО

x(t)=.njeR{t - t,). (134)

- ОО

Если нас интересует отклонение X {t) - x {t) - х, то можно заменить tif на rij - п или, что то же самое, исключить нефлуктуирующую постоянную составляющую входного тока. Тогда

X{t)={nj--n)eR{t~tj). (135)

- ОО

Вычислим

p(t) = X{t)X{t - z)== 2 {nj~n){ni - n)eR{t - tj)R{t - z-ti).

-сО<У <00

-co<i<co ,j3g

Мы знаем, что переменные tij и ге взаимно независимы, если i и J - разъединенные промежутки. Отсюда следует, что

{tij - п) {til ~п) = 0 при i Ф у. (137)

Поэтому

Р () = S ( ;-nf {t - ;.)R{t-z - t).

Центральный момент второго порядка {rij - tif- вычисляется, и<?ходя

из закона Пуассона, которому подчиняются rij (см. соотношение (106)).

Находим

{rij - nf - n - At, (138)

Примечание. В случае выпрямителя, выпрямляющего только один полупериод переменного тока, мы нашли бы



Gi(v)=: J Fy{t)e-i- dt.

- со

+ CO

G2(v)= J 2 (0 rf.

- CO

Теорема Парсеваля выражается соотношением

оо со

/ Oi (V) G2* (у) dy= f Fi (t) К (О dt, , (140)

-со -со

где звездочкой помечена сопряженная комплексная величина.

Если за Fy и принять вещественные функции R{t) и R(t - х), то вводя частотную характеристику G(v), получим

Gi(v)=G(v) и Gg (V) = G (v) e- .

Отсюда

+ 00 +СО

J R(t)R(t - x)dt=j\G(y>)\eJd-.

- со -со

Тогда соотношение (139) запишется в виде

со со

р(т:)= j\lg(y)e-J= j 2e/g-2(v)cos2TcvT;rfv.

где Ро - средняя плотность, т. е. среднее число электронов в секунду: Поэтому

Устремляя к нулю, получаем в конечном счете

со оо

Р () = / PoeP (t) R it - х) dt ==el j R (t) R {t - т) dt. (139)

-CO -oo

Это уравнение следует сопоставить с уравнением (99). Явление флуктуации в чистом виде, т. е. до того, как ее исказила инерция усилителя, представляет собой явление с микроскопической корреляцией. Говоря точнее, при сколь угодно малом корреляция между двумя переменными (ге,- - ге) и (йу-п), соответствующими двум последовательным промежуткам времени ((, tj - ti-\~t) и (tj, tj-\-lt), равна нулю, как в выражении (137). Но мы знаем, согласно выражению (99), что р {%) принимает вид произведения постоянного числа, зависящего от начальной флуктуации, на функцию от т, зависящую от фильтра. Это мы и получаем на основании соотношения (139).

Вычислим теперь спектральную плотность. Для этого достаточно применить теорему Парсеваля, которая заключается в следующем. Пусть Fit) и /2(0 абсолютно интегрируемые функции, ограниченные в промежутке от - со до -- оо, а Gj (v) и Gg (v) - их коэффициенты преобразования Фурье:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 [ 215 ] 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251