ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IX

1. П у г а ч е Б В. С, Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления, Физматгиз, 1962.

2. Л е в и и Б. Р., Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике,. Советское радио , 1960.

3. Миддлтон Д., Введение в статистическую теорию связи, Советское радио ,.

4. С т р а т о н о в и ч Р. Л., Избранные вопросы теории флуктуации в радиоте.хнике, Советское радио , 1961.

5. Свешников А. А., Прикладные методы теории случайных функций, Судпром-гиз, 1961.

6. В 1 а п C-L а р 1 е г г е А., Sur certaines fonctions aleatoires stationnaires. Applications, a Ietude des fluctuations dues a la structure electronique de Ieiectricite, Publications des Laboratolres de IEcole Normale Superieure, Paris, 1945.

7. В i a n c-L a p i e г г e A. et Fortet R., Analyse spectrale de Ienergie dans les-piienomenes de fluctuations, Annales de TeJecommunicatiims, 2, № 7, 1947.

8. В or el E., Traite de calcul des probabiiites et ses applications, Paris, 1924-1932.

9. F r у T. C, Probability and its engineering uses. New York, 1928.

10. Loeve M., Fonctions aleatoires de second ordre,La Revue Scientlfique, 84, 1946, p. 195. . , .

11. Vaulot A., CalcuI des probabiiites applique a la thelephonle, Cours de TEcole Superieure des Telecommunications.

Сравним теперь результат с соотношением (93), дающим корреляционную функцию на выходе линейного усилителя. Мы видим, что значение 2е/ представляет собой спектральную плотность, соответствующую сигналу, иначе говоря, дробовому эффекту тока.

Чтобы рассчитать действие дробового эффекта на усилитель, достаточно приписать этому явлению равномерный спектр со спектральной плотностью, равной 2е/. Это согласуется с тем, что здесь речь идет о явлении с микроскопической корреляцией. Понятно, что говорить о равномерном спектре бессмысленно, так как в этом случае при интегрировании по всем частотам получим бесконечность. В действительности, наблюдать за дробовым эффектом можно только с помощью прибора; при этом главное, чтобы существовал

интеграл j 2elg (v) dv, что завцсит только от величины (v) иными словами о

от прибора наблюдения.

Примечание. В заключение следует отметить, что все сказанное о дробовом эффекте применимо также к эффекту Джонсона (эффект мерцания), т. е. к флуктуациям электродвижущей силы шумов в сопротивлении.. Действительно, здесь также речь идет о явлении микроскопической корреляции, которое с помощью некоторой стационарной линейной системы приводит к появлению ст.ационарной случайной функции Лапласа - Гаусса.

ГЛАВА X

ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 10.1. РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

10.1.1. Графическое решение. Очень простой способ вычисления корней уравнения / (х) = О состоит в том, чтобы тщательно вычертить на миллиметровке кривую у = /(х). Абсциссы пересечения этой кривой с осью абсцисс будут равны искомым корням с приближением, часто достаточным лля инженера. Они могут служить также отправной точкой для методов алгебраической апроксимации, описанных ниже. Построение кривой у == / (х) полезно для применения этих методов, так как сведения, которые оно даст о ходе кривой, позволят выбрать приближение или метод, наиболее подходящий для быстрого вычисления.

Часто можно написать уравнение /(х) = 0 в виде

tp(x) -ф(х) = 0.

При этом решения будут даны абсциссами точек пересечения двух кривых:

у = ср (X) и у = ф (х).

Если представление f - f - ф выбрано удачно, то начертить эти кривые будет гораздо легче, чем кривую у = / (х). Например, решение уравнения

inxchx=l легче получить, найдя пересечение кривых y = sin.!£:, i = j>

чем вычерчивая кривую

у == sinx chx- 1.

Такое графическое решение может дать очень точные результаты. В п. 10.1.4 этот способ рассматривается более полно и в большей общности.

Если в уравнении / (х) = О фигурируют параметры, то иногда оказывается возможным собрать их в одну из функций ср(х) или ф(х), а другая оказывается от них независящей. При этом удается получить схему, пригодную для графического решения всех уравнений некоторого типа.

Пример. Графическое решение уравнений третьей и четвертой степени.

а) Требуется решить уравнение х ~\-ах ~\-Ьх +с- 0. Положим

X ~z - у . Тогда уравнение принимает вид - pz - - О при

Достаточно найти пересечение прямой y=:pz-]-q с кривой y = z. которая будет начерчена раз навсегда.

б) Требуется решить уравнение х--\-ах--(-Ьхсх -\-d - 0.

Положим x=:Z - . Тогда уравнение примет вид z -\- az -\- z -\- -\~0

ч. = Ь-

а? ab

с.

- 256 + 16 4 Если а > О, положим z - t ]/а. Получаем

f-X-f - pt - qO

т

Если а < О, положим z = tY--a. Получаем

f - f - pt - qO

Достаточно найти пересечение прямой у = pt-\-q с кривой y = t*~\-fi или, в зависимости от случая, с кривой y~t* - fi. Обе эти кривые чертятся раз навсегда.

10.1.2, Метод Ньютона и метод пропорциональных частей, а) Метод Ньютона. Требуется решить уравнение

/(х) = 0.

Пусть АВ, - дуга кривой у = / (х) вблизи корня; с ftj - абсциссы точек А, и В (рис. 10.1). Предположи.м сначала, что эта дуга имеет вогнутость в сторону положительной части оси у {f {x) > 0] и что / (ft,) > 0. Пусть ftg есть точка встречи касательной, проведенной к кривой в точке В с осью х. Тогда ftg представляет приближение к корню, лучшее, чем Ь и расположенное с той же стороны от корня:

fib,)

b-2 = h-

f (b,)

Рис. 10.1.

Повторим это рассуждение для нового приближения ftg- Получим

и далее

i = ft-.

f{b,) /(*з)

Последовательность by b. b, b, ... стремится к искомому корню.

Если бы дуга кривой была обращена вогнутостью к отрицательной части оси у, то следовало бы применить только что описанный способ, проведя касательную к кривой в точке А,.

Таким образом, получаем правило: если корень заключен между двумя числами а, Ь и вторая производная сохраняет в этом промежутке знак.