Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 [ 218 ] 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Имеем последовательно: Xq = 0,

у, = <р (0,1) = 0.939, 10x2 = у, =0,939,

У2 = ср(Х2) = 0,946..., 10хз = у2 = 0,946

Уо = Ф(0)=1. . х, = 0,1,

Х2== 0,0939,

Хз = 0,0946. ..,

Х4 = 0,094546....

Х5 = 0,094552...

Уз = 9(3) = О-94546..., 10x4 = Уз = 0,94546.

У4 = ф(х4) = 0,94552..., 10x5 = У4 = 0,94552....

На этой степени приближения 2 = 2,094552... (точный корень равен г = 2,09455148...)

10.1.4. Приближенное решение системы двух уравнений. Решение системы двух уравнений

Л(х, у)=0. Мх, у) = 0

может встретиться, в частности, при нахождении комплексных корней уравнения

/(2) = 0. . (4>

Действительно, положим 2 = х -j- /у. Тогда, если отделить вещественную часть от мнимой, уравнение (4) может быть написано в виде

и мы приходим к системе (3).

Может показаться соблазнительным решить систему (3), исключив, например, переменную у и решив полученное таким образом уравнение относительно X. В большинстве случаев это оказывается невыгодным. Напротив, как мы видели вн. 10.1.1, часто бывает проще представить уравнение /(х) = 0 в виде равенства двух функций у = /,(х) и у = /2(х), так как при этом легче нарисовать соответствующие кривые.

а) Графический способ. Вычерчиваются графики двух уравнений системы (3). Координаты точек пересечения дают пары вещественных значений X yj; Х2. У2, удовлетворяющих данной системе.

Пример I. Требуется решить систему

х - 2ху -Ь у2 = О, х2-2х--у--2 = 0.

Эта задача сводится к тому, чтобы найти точки пересечения кривой третьего порядка и параболы. Грубо нарисовав обе кривые, мы

видим, что кроме очевидного корня х = у = I имеется еще только один корень, с абсциссой, близкой к х = 0,7 (рис. 10.5).

Более подробный чертеж интересующей нас части кривых в большем масштабе показывает, что этот вещественный корень заключен между



Рис. 10.5.

Рис. Ш.6,



jc = 0.70 и х = 0,71 (рис. 10.6). Последний чертеж сделан на основании следующей таблицы:

Кривая третьего Парабола порядка

х = 0,6 у = 0.979 у =1,16

х = 0.7 у= 1,0836 у=1,09

х = 0,8 у=1,158 у=1,04

х=1,0 у=1.,0 у =1.0

Представим интервал между х = 0,7 и х = 0,71 в еще большем масштабе. При этом можно заменить кривые отрезками прямых, соединяющих точки (рис. 10.7)

х=0,7 х = 0,71 х = 0,7 х = 0,71

у= 1,0836 у =1,092 у =1.09 ] у = 1,084 J

кривая третьего порядка,

парабола.

Точка пересечения имеет абсциссу, заключенную между 0,704 и 0,705.

1,0873]

7,09

Q7 / \о,Щ

/ . (0.70ff)

,0836

1,08

7,032

7,08702 7087.5

7.08707


Рис. 10.7.

Ш,70М) Рис. 10.8.

7,08703

Действуем также в интервале 0,704; 0,705. На этот раз отрезки прямой соединяют точки (рис. 10.8)

х=: 0,704 у = 1,08701

х = 0,705 у = 1,087912

х = 0,704 у = 1,087616

х = 0,705 у = 1,087025

I кривая третьего порядка, парабола.

Можно продолжать построение до бесконечности, но если остановиться на атом этапе вычисления, то пересечение кривых дает в 14ачестве решения системы

х = 0,70440. у = 1,08738.

(Точные значения равны х = 0.704402..,; у = 1,087378...)



Замечание. Умножив второе уравнение на х и вычтя его из первого, можно заменить данную систему на систему

2x2 + у2 - ху - 2х = О,

х2 -2х -у+2 = 0.

Но вычерчивание по точкам эллипса не проще, чем вычерчивание кривой третьего порядка.

Пример 2. Найти сопряженные комплексные корни уравнения

423 - 322 -б2 -3 = 0.

Положим z== x-i-Jy. Получаем два уравнения:

4x3-12ху2-Зх2Н-Зу2-6х -3 = 0, (5)

у (6x2 2у2 3) = 0.

Решение у = О соответствует вещественному корню. В плоскости переменных X, у кривая

6x2 -2у2 -Зх -3 = 0

является гиперболой. Она изображена пунктиром на рис. 10.9 и пересекает кривую третьего порядка (5) в двух симметричных точках, координаты которых приближенно равны х = -0,5, у =±0,37. Применение ранее описанного способа быстро привело бы к значениям, которые мы найдем в п. 10.2.5, пользуясь способом Лобачевского-Греффе- Данделена.

Замечание. Если кривые, представляющие систему (3), пересекаются под очень острым углом,. точность может оказаться

не слишком хорошей. Такой опасности нет при нахождении комплексных корней, когда коэффициенты уравнения вещественны, так как обе кривые при этом ортогональны.

б) Способ Ньютона. Пусть х = йд, у = ftp - первое приближение решения системы (3) и пусть а и р - точные значения этого решения.

Имеем

а = й(,-1-Л, l = bQ-\-k.

Можно написать

/i (а. Р) - А (о. ) + h (45-) + k (УА -4- (ft. ) = 0.

/2( . Р)-=/2(0. )+h

/ /

N. 1

/ 3

\ \

\ \

Рис. 10.9.

\ дх )

Пренебрежем членами Q и R второго порядка по h и к. Тогда можем найти приближения лучшие, чем а, Ь:

ai = aQ-\-hi, &i = &(,-t-i, где /Zj и kl определяются системой

2(4г) +() =-/2( 0.0).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 [ 218 ] 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251