) См. в п. 4.1.10 матричный способ приближенного решения уравнении п-го порядка.

Теперь, отправляясь от а, и by, можно вычислить следующее приближение и т. д.

Пример. Вернемся к примеру I и будем исходить из приближения

а = 0,7, b=l,l.

Имеем

4S- = 3x2-2y, = 2у-2х,

4 2х-2, = -1. дх ду

Отсюда получаем систему

- 0,73/г,-- 0,81-=- 0,013,

- 0,6 /г,- А;, = -1-0,01,

а из нее

/г, = 0,0041, All = - 0,0125, й;, = 0,7Н-0,0041 =0,7041, by = 1,1 -0,0125= 1,0875.

Если действовать таким же образом, отправляясь от значений Ву, by, то получим

112, 2 определяются из системы

- 0,68773/22 Н- 0,76682 = - 0,00030112. 0,5918 Й2-1 k2= 0,00005681,

откуда

/22 = 0,00030195, 2 -0-00012188 . 2 = 0,70440195, &2 = 1 08737812.

10.2. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ )

10.2.1. Численное решение уравнений третьей и четвертой степени.

1. Требуется решить уравнение x-f-ax-f-x-}-с = 0. Припомним вкратце

классический способ решения. Осуществим замену переменной x - z - -5-.

Тогда уравнение примет вид

z - pz - 9 = 0.

Могут встретиться следующие случаи: I) /7 < 0. Положим

Корни равны

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 3 / /7\2

2) р>0, {-J < [-J. Положим

Корни равны

3) P > О, (J > (j\ Положим

---2-1/ У Корни равны

2/f.c s-, -2/>,(-).

4) Р > О, (--] = (--). Корни равны

3q 3q 3q

2р 2р

Замена х = 2 - -g- дает корни исходного уравнения.

Пример. Требуется решить уравнение х - Зх - 8х + 4 = 0. Положим X = г -f-1. Уравнение принимает вид

23-llz -6==0.

Здесь имеет место третий случай:

cos ф = i = 0,42728, с = 64° 42 17 .

2, = 2 j,/ cos2I°345 =2 0,92998 = 3,5615.

22= -2 /cos 38° 2555 = - 2 1- 0,78334 =-2,9999,

2з = -2 1- со8 8Г345 = -2 . 0,14664 = --0,56158.

Отсюда

X, = 4,5615, Х2= -1,9999, Хз = 0,43841.

Произведение (х - х,) (х - Х2) (х - Xg) дает

хЗ -3,00001x2 -7,9995x4-3,9994.

2. Требуется решить уравнение х-\-ах-\-Ьхсхd= 0. Классический способ реше,ния таков: рассматриваем уравнение третьей степени

23-Ьг22 4-52-(-г = 0, (6).

коэффициенты которого определяются формулами , , .

г~ - Ь, s=ac - 4d, t = d{Ab - а2)-с2.

Пусть Z - наибольший вещественный корень уравнения (6). Этот корень может быть найден предыдущим способом. Вычисляем величины:

в которых

е=--1. если Щ- - с > О, е= - 1, если -g--с < 0.

Искомые корни суть корни двух уравнений

х+рх -i-q =0, x + px + q==0. Пример. Требуется решить уравнение

л:-I-2x3-4-3x2 - 2x + 1 = 0.

Получаем

/- = - 3. s = -8, t = 4. . Вспомогательное уравнение

.Згг2-8г--4==0

было только что решено. Поэтому Z = 4,5615. Имеем е = -j- 1 и

р=.1 -j- Y 1-3 + 4,5615 = 2,6005, p=\-Y 1-3 4- 4,5615 = -0,6005.

, = i+/pf!73r= 4,33058.

, yJJ 1 = 0,23092.

Отсюда получаем два уравнения

х2 + 2,6005хЧ-4.33058 = 0. х2 о,6005х Ч-О 23092 = О,

коони которых

- 1,3002 ±1,62487, 0,3002 ±0,37519У.

Вычислив произведение левых частей обоих уравнений второй степени, находим

х + 2,0000x3 + 2,9999x2 - 2,000005х + 1,00001 =0.

что является превосходной проверкой вычислений.

10.2.2. Схема Горнера. Эта схема позволяет удобно расположить вычисления при подстановке числа в полином.

Даны полином

/(х)= (,х + Й1Х -Ч- ... -1-а 1Х + а (7)

и некоторое значение х - а. Напишем очевидное равенство

/W = (x -a)/i(.x;-h/(.a). (8)