1.4] КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 83

Повторяя предыдущие рассуждения, нетрудно убедиться в том, что при перемещении точки вдоль вещественной оси от -оо до X - - d, затем от Х = - d до точки X = -\-d и от X --\-d ао -\-со точка С перемещается в плоскости С по вещественной оси от О до -1- оо, затем по прямой, параллельной вещественной оси, от - оо до -j- оо и по вещественной оси от -оо до 0. Следовательно, задача сводится к изучению электростатического поля между двумя бесконечными плоскостями с разными потенциалами. Нам известны силовые и эквипотенциальные линии этого поля, которые являются прямыми, параллельными соответственно мнимой и вещественной осям плоскости. Отображения этих линий представляют собой - в плоскости Z семейство ортогональных окружностей, показанных на рис. 1.45. Поэтому задача, поставленная вначале, может быть решена применением отображения Шварца к указанному семейству окружностей. Это отображение в конечном счете даст эквипотенциальные и силовые линии в плоскости z. Таким образом, задача решается с помощью двух последовательных отображений.

1.4.5. Различные применения конформных отображений. До сих пор мы применяли конформные отображения только к задачам электростатики. Рассмотрим применения конформных отображений для расчета других плоских полей, о которых упоминалось в п. 1.4.1.

а) Циркуляция токов в плоском однородном проводнике. Если заряженные частицы, создающие электрический ток (электроны в твердых телах, ионы в электролитах), испытывают значительное трение, пропорциональное скорости, так что влияние инерции частиц пренебрежимо мало, и если, кроме того, можно пренебречь явлениями, обязанными своим возникновением пространственному заряду, то, используя результаты предыдущих параграфов, можно решать задачи о распределении тока в среде с сопротивлением, в которой помещены электроды заданной формы с известными потенциалами. Эти электроды могут быть впаяны, если речь идет о твердом теле, или погружены в электролитическую ванну, если речь идет о жидкой среде.

Итак, при переходе к рассматриваемой задаче достаточно заменить в предыдущем тексте слова силовые линии на линии тока и поверхностная плотность заряда на плотность тока на электродах . В частности, сопротивление R, препятствующее прохождению тока между двумя электродами, непосредственно связывается с емкостью С, образованной этими же самыми электродами, погруженными в изолирующую среду.

Если р - удельное сопротивление проводящей среды, а е - диэлектрическая проницаемость изолирующей среды, то )

Мы, например, видели, что емкость на единицу длины конденсатора, образованного двумя одинаковыми цилиндрами с радиусом г, оси которых параллельны и находятся на расстоянии 2а, равна

Сопротивление на единицу длины между теми же двумя цилиндрами (предполагается, что они идеально проводящи), погруженными в среду с удельным сопротивлением р, равно

) в нерационализированной системе единиц CR - ер/4л.

б) Распространение тепла. Все сказанное выше переносится и на этот случай. Разности потенциалов здесь соответствует разность температур. Линии одинаковой температуры, или изотермы, заменяют эквипотенциальные линии, линии теплового тока - силовые линии, количество тепла в секунду - силу тока или поток электростатической индукции, удельная теплопроводность играет роль удельной проводимости или величины, обратной удельному сопротивлению.

в) Движение вязкой жидкости. Легко показать, что перемещение вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями, находящимися друг от друга на расстоянии 2е, происходит параллельно плоскостям.

Если рассматривать перемещение плоского слоя, находящегося на расстоянии Z от срединной плоскости, и обозначить через tj коэффициент вязкости, а через р давление, отнесенное к единице длины, то скорость перемещения V равна

Таким образом, движение произвольного слоя определяется из движения среднего слоя {z = 0). При этом имеет место полная аналогия предыдущим случаям: давление соответствует потенциалу, линии скорости - линиям тока, а количество жидкости, протекающей в единицу времени, - электрическому току.

г) Движение идеальной жидкости. В этом случае дело обстоит иначе, даже если предположить, что движение безвихревое.

Действительно, вместо фзшкции силовых линий можно составить функцию, представляющую линии тока жидкости. Точно так же можно определить потенциал скоростей, частные производные которого представляют собой проекции вектора скорости, играющего роль электрического потенциала. Однако при/этом может возникнуть явление, не имевшее места в предыдущих случаях, а именно существование линий разрыва в течении. Если переходить с одной стороны этих линий на другую, вектор скорости терпит разрыв. Отсюда возникает новый тип задачи. Условия на границах задаются вдоль одной из линий, форма которой входит в число неизвестных задачи.

д) Магнитные поля. Мы еще не говорили о применении конформного отображения для определения силовых линий магнитных полей в присутствии магнитных тел. Основные законы здесь те же, что и в электростатике, однако между магнитным и электростатическим полем имеется глубокое различие. Магнитные заряды движутся всегда парами и на фиксированном расстоянии. Магнитное поле не равно нулю внутри магнитных тел, и силовые линии не выходят из них нормально. Поэтому применение конформного преобразования в том виде, как оно было выше изложено, может привести в этом случае лишь к довольно неточным результатам.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ I

1. П р и в а л о в И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, Физматгиз, 1960.

2. С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. III, ч. 2, Гостехиздат, 1957.

3. Ф у к с Б. А., Ш а б а т Б. В., Функции комплексного переменного и некоторые их приложения, Физматгиз, 1959.

4. Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, Физматгиз, 1958.

5.Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических функций. Физматгиз, 1961.

6. Л у н ц Г. Л., Э л ь с г о л ь ц Л. Э., Функции комплексного переменного с элементами операционного исчисления, Физматгиз, 1958.

ГЛАВА II РЯД ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

2.1. РЯД ФУРЬЕ

2.1.0. Введение. Рассмотрим функцию / (л:) вещественной переменной л:, определенную в каждой точке промежутка [6, 6--27г]. Предположим, что в этом промежутке функция /(л:) удовлетворяет следующим условиям (так называемым условиям Дирихле):

1) всюду однозначна, конечна и кусочно-непрерывна,

2) имеет ограниченное число максимумов и минимумов.

Например, функции и sin- не удовлетворяют соответственно условиям 1

и 2 в промежутке, содержащем точку л: = 0. В таком случае можно представить функцию f(x) в рассматриваемом промежутке в виде ряда

оо со

оН~ 2 a,jSinnx ~\- 2 bcosnx.

п=1 п=1

Здесь дд, а и - независимые от х коэффициенты. Этот ряд называется рядом Фурье функции /(л:). Он сходится к /(л:) во всех точках непрерывности функции и к значению

/(.-0) + /(. + 0)

в точках разрыва функции х = а. Это среднее арифметическое значение двух предельных ординат, и его естественно принять за значение функции в точке разрыва.

2.1.1. Вычисление коэффициентов. Исходными здесь будут следующие соотношения:

е+27г

г . . , ( О для пФ т,

I smnxsmmx dx = l (1)

I It для n = m;

r , ( 0 аля пфт,

j cos nx COS mx dx - { (2)

J [ IT для n = m;

e+27t

J sin nx cos mx dx =0. (3)

Действительно,

sin nx sin тл: = -cos( - m) x - g Cos (re-f- m) x.