= 3,34080.

14 + i

10.2.5. Метод Лобачевского - Греффе - Данделена. Дано алгебраическое уравнение

/(х)=ЛоХ +Л1Х -+ ... +Л 1Х + Л = 0. (10)

Коэффициенты Лц, .....Л вещественны. Обозначим корни уравнения

через Xj, Xj.....х . Излагаемый способ решения опирается на следующие

положения:

а) Если уравнение (10) имеет k корней Xj, Xg, .. ., х, модули которых имеют порядок величины, значительно больший, чем модули п - k других корней Xj i, .... х , то уравнение можно разъединить на два уравнения:

ЛоХ* + Л1Х*-1- ... +Л;, = 0, (И)

корнями которого приближенно будут Xj.....х, и

Л,х -* + Л,,х -*- + . .. Н- Л = О, (12)

корнями которого приближенно будут x+j.....х .

Действительно, пусть для определенности k = 2. Тогда из представления

/(Х)= Ло(Х-Xj)(X -Х2)(Х-Хз) ... (х -х )

находим

= -о(л1 + -2--л:зН- ... +xj -Ло(х, + Х2),

Л2 = Ло(Х1Х2 + Х1Хз + Х2Хз+ ... +-ХуХ -\- ... Л-X уХ АХуХ.

Уравнение

. . , Лох2+Л,х + Л2=0 (13)

имеет коэффициенты, близкие к коэффициентам уравнения

ЛоХ2 - Ло (Xi -I- Х2; X + ЛоХ,Х2 = 0.

Следовательно, и корни уравнения (13) близки к корням х, и х, этого последнего уравнения.

корень которого, больший чем заключен между 14 и 15. Положим

Х4=14 + 4-.

Получаем уравнение

/б (б) = 370х - 1461 х2 - 204X5 -7 = 0,

корень которого, больший чем заключен между 4 и 5.

Если здесь остановить приближение, то искомый корень будет заключен между

-j- =3,34078

Аналогично проводится рассуждение для любого k.

Уравнение (12) найдем, если произведем замену переменной х = -

в повторим предыдущее рассуждение. Пример. Уравнение

х*-15 ООЗх + 50 045 002л;2 - 150 030 000л; + 100 ООО ООО = О

имеет корни 10 ООО,. 5000, 2 и 1. Уравнение л; - 15 003л;50 045 002 = О имеет корни 9997 и 5006; уравнение 50 045 002x2 - 150 030 ОООх-f-+ 100 000 000 = 0 имеет корни 1,0008 и 1,9964.

б) Если два числа а.иЬ таковы, что \а\ < \Ь\, и если s -сколь угодно малое положительное число, то можно всегда найти число р, настолько большое, что

в) Поставим перед собой задачу построить уравнение, имеющее в качестве корней величины, противоположные квадратам корней уравнения (10),

т. е. -xf, -х. Для этого достаточно найти произведение f{x)f{ л заменить -х на х. Тогда получим

f х -1 - 2Л0Л2 )

-2ЛИз + 2ЛИ4

+ ... =0.

(14>

Закон образования коэффициентов прост. Коэффициент ранга k равен квадрату коэффициента ранга k уравнения (10), к которому прибавляют удвоенные произведения симметрично расположенных коэффициентов, попеременно сопровождаемые знаками -, -)-, -, -j-, ...

Метод Лобачевского - Греффе-Данделена заключается в следующем. Способом, описанным в в), из уравнения (10) получают уравнение (14). Затем из уравнения (14) таким же способом получают уравнение, имеющее в качестве корней -Xj, -х, и т. д., вплоть до уравнения

CqX + aiX -iН- ... +a iX-bc = 0,

(15).

имеющего корни - х\.....- х .

Если р достаточно велико, то уравнение (15) может быть разъединено-на некоторое число частичных уравнений, имеющих в качестве корней, с точностью до знака, корни уравнения (10), возведенные в степень 2.

Действительно, если разбить корни на группы, отнеся к одной группе все корни, имеющие общий модуль, а затем расположить эти группы в порядке убывания модулей, то после возведения в степень 2 модули корней одной, группы становятся пренебрежимо малыми по сравнению с модулями корней предыдущей группы.

Пользуясь методом Лобачевского - Греффе - Данделена, мы можем, встретиться с несколькими различными случаями.

Первый случай. .Все корни уравнения (10) простые, а их модули различны. Следовательно, все корни вещественны, так как коэффициенты уравнения (10) вещественны по предположейию. Разъединение даст частичные уравнения первого порядка.

Этот случай характеризуется при возрастании р правильным возрастанием (или убыванием) коэффициентов а, а а , возможно лишь начиная с достаточно больших р. Коэффициенты всегда будут положительны.

Если р достаточно велико и если считать, что корни расположены в порядке убывания модулей, то можно написать

откуда loglXil

откуда logljl

log

Остается определить момент, когда можно считать р достаточно большим. Это зависит, очевидно, от точности, которую мы хотим получить при вычислении jCft. Если мы располагаем таблицей логарифмов для чисел от 1 до 10 000, то можем получить только 5 значащих цифр. Следовательно, р будет достаточно велико, если при вычислении коэффициент оказывается равным, с точностью до первых пяти значащих цифр, квадрату предыдущего коэффициента того же ранга*), иначе говоря, если прибавление удвоенных произведений не изменяет первых пяти значащих цифр квадрата предыдущего коэффициента. Будем говорить, что при таком значении р коэффициент а, удовлетворяет условиям разъединения. Знак, который нужно поставить перед

найденным модулем получается с помощью проб.

Пример. Требуется решить уравнение 2х-Зх-12х-1=0. следовательность вычислений ясна из нижеследующей таблицы:

*) То есть при той же степени неизвестного.