logx.

10gX2 lOglXgl -

18 447 27 189 61981

:°g(l7T89 1 = -°-(0-36780 10 I

61981 io33J=,log(3,3600- 1033), . 10i6J = - log (0,43867 - 1016),

3,3407; 1,7555; -0,085254.

Находим, что левая часть уравнения имеет попеременно противоположные знаки в точках -2, -1, О, + оо, откуда

Xj = +3,3407, Х2 = - 1,7555, Хз = -0,085254.

Второй случай. Несколько корней имеют один и тот же модуль. Важнейшим является случай, когда имеется несколько пар сопряженных комплексных корней. Он характеризуется колебаниями одного или нескольких коэффициентов при возрастании р.

Пусть, например, этим коэффициентом будет а. Сумма удвоенных

произведений

- 2а

+ 2а 2а+2 -

никогда не будет прене-

брежимо мала по сравнению с первыми значащими цифрами а, как бы ни было велико р. Положим, что имеется только пара сопряженных комплексных корней. Если р достаточно велико, чтобы все остальные коэффици-. енты, кроме Uj, удовлетворяли условиям разъединения, то можно разъединить уравнение на несколько уравнений первого порядка и одно уравнение второго порядка

Оно, с точностью до знака, будет иметь в качестве корней искомые комплексные корни, возведенные в степень 2. Модуль этих комплексных корней р находится из соотношения

Uk-l

откуда

logp = -

1 1

Вычислив вещественные корни уравнения (10) и обозначив через.

два искомых комплексных корня, получим

- =°-+Х+ ... +x j + X +2+ ... +Х .

Отсюда, находим а, а следовательно, и р = ]Лр - а.

Пример. Требуется решить уравнение 4х - Зх - 6х - 3 = 0. Вычисления приведены в следующей таблице:

Iogx,=~log(g-- 104) =- log(1,311 - 10 ). х, = 1,8086; logp--Y-Iog(§- 10-) = log(0,76451 - 10-), р = 0.6439.

-= 1,8086-Ь 2а, а = -0,5293.- р = ]Лр2- а2 = 0,36667.

Xi=+ 1,8086, Х2 = -0.5293 + 0,36667, Хз= - 0,5293 - 0,36667.

Случай, когда имеются две пары сопряженных комплексных корней, характеризуется колебаниями двух не соседних коэффициентов. Когда для других коэффициентов будут получены условия разъединения, оба квадратных уравнения дадут, как и в предыдущем случае, модули р и комплексных корней.

Пусть Xj, Xj, .... Xj {s = n - 4) - вещественные корни. Получим -А=2а+2а + х, + Х2 + Хз+ ... +х

i-lf-- = pY\x2Xs ... X,+ XjX3 ... Х,+ ... +Х,Х2 ... х, ,) +

+ 2(ар2 + аУ)х,Х2 ... X,.

Отсюда находим

а, а, р=/р2 -а2, P=V p

Третий случай. Пары комплексных сопряженных корней-не единственный случай, когда два корня имеют одинаковый модуль. Это будет также, если имеется двойной корень или если два корня имеют противо-

положные значения, что сводится к двойному корню уравнения, полученного в результате первого преобразования уравнения (10) (р= 1). Модуль этих корней может быть вычислен по формуле (16). Прикидка в уравнении (10) покажет, что будет иметь место: л; = р, x,j+j = - р или х = JCj,+j = ± р. Коэффициент во время возрастания р будет изменяться иначе, чем в предыдущем случае, он не колеблется, а все время остается положительным и стремится стать равным не квадрату коэффициента а, соответствующего /? - 1, а половине этого квадрата.

Пример. Требуется решить уравнение 2х-\-д>х-\2х-\-7 - 0. Вычисления приведены в таблице:

Условия разъединения выполняются для а но не для Cg- Удвоенное произведение 2cja3 становится равным у а, что доказывает наличие двойного корня. Имеем

logXi = log(§-. Ю ), откуда (х,(=3,500, Xi = -3,500;

1 1 33 232 logp= Зг 33 232 откуда р=1.

Прикидка показывает, что х2 = Хз=1.

Четвертый случай. В этом довольно редком случае имеется вещественный корень x,j = ± р и два сопряженных комплексных корня Х/.., - pef, Xi 2 = pe-if. При возрастании р коэффициенты и a+j не удовлетворяют условиям разъединения. Так как они расположены последовательно, то это характеризует случай одного вещественного и двух комплексных корней с одинаковым моду.тем.

Когда все остальные коэффициенты удовлетворяют условиям разъединения, корни х,, x+j, Х;+2> возведенные в степень 2 и взятые со знаком минус, будут представлять собой решения уравнения