I 1 ,

Щг+2

вещественная часть а и мнимая р получаются, как показано выше.

Может быть еще, что :

Р- = ± р. Xk+2 = ?e

Когда коэффициенты, кроме а, a+j, a+g- удовлетворяют условиям разъединения, корни Xft, Xft j, Xjj 2> возведенные в степень 2 и взятые со знаком минус, будут решениями уравнения

a ix4+c,x3 + aft+ix2 + aft+2->= + aft+3 = 0.

Отсюда logp = -log

Щг + з

. Вещественная часть а и мнимая опре-

деляются, как в предыдущем случае.

Если исключить случай корней кратности больше 2, то мы рассмотрели здесь все возможные случаи, когда уравнение (10) с вещественными коэффициентами имеет корни с одинаковым модулем.

Пример. Требуется решить уравнение

хб - 15x5 -)- 56x4 5бд;3 55j,2 -- i 72х - 120 = 0.

Отсюда

Как показывает таблица (стр. 686), коэффициенты а, и удовлетворяют условиям разъединения. Следовательно, имеется два вещественных корня. Но три последовательных коэффициента а, а, не удовлетворяют этим условиям. Следовательно, имеются 4 корня с одинаковым модулем, связанные в одном уравнении четвертого порядка. Имеем

log (1,0002 1032), 18 536

log Ixl

= 10.0005,

lOgp: 15:

V 10 002

34 181

- lOS

I xJ ==3,00002,

1019

18 536

: 10,0005+3,00002 +2a, :2Zr2,

1.4142, .

0,9996,

1,0004.

Точные значения корней равны 10, 3, ± \Л2, 1 ± J.

Пятый случай. Если уравнение (10) имеет два вещественных корня Xj абсолютные значения которых очень близки, то коэффи-

циент а/ стремится к условиям разъединения очень медленно. Если условия разъединения уже получены для других коэффициентов, то можно в этот момент разъединить уравнение на некоторое число уравнений первой степени и одно уравнение второй степени, имеющее в качестве корней взятые со знаком минус степени 2 величин х,, x+j. Вычисления при этом аналогичны вычислениям для случая двойного корня, но коэффициент не будет равен половине квадрата предыдущего коэффициента того же ранга.

Пример. Требуется решить уравнение х - 65х2+ 1087х- 1023 = 0. Вычисления приведены в таблице:

Коэффициент aj лишь .очень медленно стремится к условиям разъединения. Для коэффициента они выполняются уже при р - 3.

Имеем I

logx3=ilogJg, хз = 1,00002.

logx,=log +f 104 >, =32,996.

log x2=jLiog -f 1020. ,х,1=31.003.

Точные значения корней равны 1, 31 и 33,

10.3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ

Приближение функции полиномами

10.3.1. Введение. Если дана функция f (х) вещественной переменной х, может оказаться полезным заменить ее в данном промежутке изменения х другой функцией более простого вида. В большинстве случаев функция f (х) известна лишь эмпирически, т. е. известна лишь таблица значений Ь, by, .... й . которые она принимает при значениях а, а, .... а аргумента. Самая простая мысль состоит в том, чтобы заменить /(х) полиномом /г-й степени, принимающим те же значения, что и /(х). Иначе говоря, заменить кривую /(х), проходящую через п-\- I точку а, Ь, ...; а , й параболой -й степени, проходящей через те же точки. При этом могут представиться два случая:

1) абсциссы й( ау.....й распределены неравномерно; 2) абсциссы а, ау.....а

составляют арифметическую прогрессию. Это наиболее частый случай, и мы на нем остановимся подробнее.

Можно поступить и иначе: вместо того чтобы искать параболу -й степени, проходящую точно через п-\-1 точку, можно найти параболу низшей степени р, проходящую возможно ближе к этим +1 точкам. Если при этом абсциссы находятся в арифметической прогрессии, вычисления упростятся, но лишь в небольшой степени.

Функция /(х) может быть задана также аналитически. Замена ее полиномом имеет целью получить вместо сложного аналитического выражения, плохо поддающегося расчету, гораздо более простое. Если при этом возможно вычисление последовательных производных, мы можем применить кроме способов, изложенных для эмпирических функций, еще и другие способы. Замена /(х) более простой функцией должна облегчить не только вычисление значения функции для значения аргумента, отсутствующего в отправной таблице, но также и вычисление значения производной для любой точки интервала и в особенности приближенное вычисление интеграла, которое применяется, в частности, для приближенного решения дифференциальных уравнений.

10.3.2. Значения аргумента распределены неравномерно. Интерполяционный полином Лагранжа. Пусть а, ау, а - значения аргумента

и йц, by.....й - значения функции /(х). Пусть Р(х) - искомый полином

-Й степени, принимающий те же значения при тех же значениях аргумента.

Р (х)

Разложим на простые дроби отношение , обозначив через D (х) поли-

и (X)

ном степени --1:

(X - ао)(х - ау){х - ag) ... (х - с ).