Й=0 i=C

Дадим X значение с,-, /(х) принимает значение й, и все члены суммы равны нулю, кроме произведения, для которого k = 1. Отсюда

Искомый полином Р(х) может быть записан в виде

Р(Х).

Это интерполяционная формула Лагранжа. Важно отметить, что она мало удобна для быстрых вычислений, но имеет большое теоретическое значение.

Полином Р(х) лучше найти следующим образом. Запишем Р{х) в виде

P(x) = Bo + Bi(x -а(,)Н-В2(л: --

... +jS (x -ао)(х-ai) .- (х -

Имеем

P{aQ) = bQ = BQ.

Рассмотрим полином . ....

Q (x) = =Bi + (x -а,) + ... 4-B,(x-ai) ... (x -c i);

Затем рассмотрим полином

R<х}=Z/ = +- 2)4- ... +s,(x-G2)---(- -i);

( 2) - - 2

Получим

D(x) Zj X -Дй

иначе говоря.

И Т. Д. Шаг за шагом определяем все коэффициенты В, что и дает искомый полином Р{х). Практически вычисления располагают в виде следующей таблицы:

Six)

= 3

42-Ч\

= /-2 = В,

= -3

ГЗ - Г2

йз -аг а - а

= (}п

Найдем предел ошибки, совершенной при замене /(х) на Р(х). Рассмотрим функцию

и предположим, что функция /(и) дифференцируется п-\-\ раз. Имеем С .. ( .1, р (.-а.)(хЬ..(х-а )

Функция F (й) обращается в нуль при значениях и=а, aj. .... а и и = х.

Повторное применение теоремы Ролля позволяет показать, что производная обратите в нуль при значении tj. заключенном между самым большим и самым малым из предыдущих чисел. Следовательно,

/(X) -P(x) = /?(x) = (x-ao)(x-ai) ... {х - ajj .

Если 1пл-\ - верхний предел ( ) в интервале, содержащем все

точки ад. 1.....а , х, то

/?(х)<(х-ао)(х-а,) ... (х-а ).

Теперь понятно, что ошибка будет тем меньше, чем ближе х будет к одной из точек Cj. и что интерполяция будет точнее, чем экстраполяция.

Пример. Экспериментально была получена таблица, определяющая некую эмпирическую функцию:

ао= 23,30, 25,25, йо = 299, 2 = 373,

. . Ci = 24,25. йз = 26.10, -1 = 328, й = 415.

Речь идет о действительном сопротивлении антенны как функции отношения ее длины к длине волны а = 100-.

Найдем параболу третьей степени, проходящую через четыре данные точки.

1. Способ Лагранжа состоит в замене букв их значениями в выражении

(х --де)(л: -дз) , и (х - а) {х - а) {х - а) -- (до - а,) К - дг) ( о - з) - йо) - 2) ( , - из)

~г 2 aj) ~г 3

После подстановки и довольно долгих вычислений находим

р (х) = - 1,7992x3+ 138,40x2 з497,8х + 29 444.

2. Второй способ дает таблицу

Отсюда находим полином

р (X) = 299 + 30,5263 (х - 23.30) + 7,4224 (х - 23,30) (х - 24.25) - - 1,7992 (X - 23,30) (х - 24,25) (х - 25,25) =

= - 1,7992x3+ 138,40x2 3499 , 39450,

который совпадает с точностью до погрешностей вычисления с уже найденным полиномом.

10.3.3. Значения переменной находятся в арифметической прогрессии. Таблица разностей. Дана функция /(х), принимающая значения Ь, Ь. ,...Ь при значениях а, a-\-h, а+2/г, .... а+ге/г переменной х.

Выражение

называют первой разностью для значения а аргумента. Первая разность для значения а-\- ph будет

bp==bp+i - l>pf[a~\-iP+i)h] - f{a~\-ph).

Вторую разность, третью .... разность k-ro порядка определяют, применяя предыдущее вычисление к первой разности, второй, разности порядка k - l:

Abpi-Abp=A%,

P+i-

Легко заметить, что в частном случае, когда /(х) представляет собой полином k-й степени, разности k-ro порядка равны между собой, а разности выше k~ro порядка равны нулю. Действительно, первые разности для значения X переменной - это полиномы степени k- 1 и т. д. до разностей &-Г0, порядка, которые сводятся к постоянному члену.