На практике, если дана таблица, определяющая эмпирическую функцию, разности разных порядков располагаются в следующую таблицу:

Каждый член равен разности между ближайшими снизу и сверху членами

А А = В - С.

соседнего слева столбца:

Составим, например, таблицу разностей для функции у = cos л: от X -- -4° до X 34°:

Пример. Дана функция /(лг) = arctgлг. Таблицы дают значения /(х) для значений х, меняющихся через 0,001 между 0,515 и 0,520. Получаем следующую таблицу разностей:

Замечание. Значение а не обязательно должно быть начальным.

Если известны значения функции для х = й - h, а - 2h, а - 3/г..... го

можно, пользуясь отрицательными индексами, продолжить вверх таблицу для b и Lb, АЦ, ...:

Интерполяционные полиномы

Найдем полином Р{х) ге-го порядка, принимающий точно re-f 1 значение &о, 1.....6 для значений

с, a-\-h, .... fl-f-re/z

аргумента. Напищем его в нескольких видах, которые дадут нам основные классические интерполяционные полиномы.

10.3.4. Интерполяционный полином Ньютона. Напищем полином Р(х) в виде

Р(х)=А+А,(х - а)-\-А2(х - а)(х - а - к)-\-...

... -1-.4 (.х -а)(л:-а-Л) ... [X -А-(ге -1)й1. (22)

Отсюда

A,=bQ,

2 ~ 2! ft2 ~ 2!

Д 6o

nlh

Положим и = --. Тогда полином (22) принимает вил 21

... +4- (и-1) ... [и-( -1)1АХ (23)

Напишем полином Р{х) в виде P(x)==B +Bi(x-fl) + 52(x-fl)(x-fl+A)+ ...

... +5 (х -с)(х -с + й) ... [X -сЧ-(га-(24)

Определим коэффициенты В условием, что Р(х) принимает значения Ь, 6 1.....Й для значений а, а - h, а - nh переменной. Вычисле-

ние, подобное предыдущему, последовательно дает

b ,:=BQ-hBi,

b 2 = Во- 2hBy -f 2 !hB,

Отсюда

5,j = V

Дадим последовательно величине х значения а, а-\-h.....a-fnh. Тогда

by=A,-+hAy,

Д,Ч-2/гЛ1 + 2!/гМ2.