Положим и - . Тогда полином (24) пишется в форме

... + ( + 1)...( 4-ге-1)Д й . (25)

В связи с тем, что разности Ъ, Ы), АЧ.....Д йо расположены

в таблице разностей на нисходящей косой строке, а разности Ь, АЬ .... Д - на восходящей косой строке, полином (23) называется интерполяционным полиномом Ньютона по нисходящим разностям, а полином (25) - интерполяционным полиномом Ньютона по восходящим разностям.

Пример. Пример уточнит условия применения обоих интерполяционных полиномов Ньютона.

Рассмотрим таблицу, взятую из п. 7.5.46. Она дает значения 10*yi(x) для 1сх<;2при /г = 0,1:

Естественно, мы будем предполагать, что таблица представляет единственные данные, находящиеся в нашем распоряжении.

Попробуем вычислить /j (1,049), заменив функцию Ji{x) параболой третьей степени, проходящей через 4 последовательно расположенные точки. Так как аргумент близок к началу таблицы, то выгодно взять интерполяционный полином Ньютона по нисходящим разностям (23) при а-\, ибо он вводит только ft(, = 4401, Aft(, = 308, A2fto = -34, Л&о = - 3. Вводимые значения функции равны Ь, Ь, Ь, с преобладающим влиянием Ъ. Это логично, так как 1,049 находится очень близко от а-\. И было бы очень невыгодно взять полином (25) при с =1,3. Действительно, пришлось бы вводить 0 = 5220, Д6 1 = 237, Ш 2 = - 37, Щ = - 3 при преобладающем влиянии ft(j, которое соответствует аргументу 1,3, находящемуся далеко от 1,049.

Отсюда вычислением, подобным вычислению предыдущего пункта, получаем , Со=*о,

2й ~ (2й)!

Полином Ньютона (23) для а=1 пишется в виде

у = 4401 + 308и - 17и (и - 1) - Y и (и - 1) ( - 2).

ЧТО при и= =0,49 дает /i (1,049) == 0,4556.

Посмотрев более подробные таблицы, находим-значение Jy(l ,049)=0.45558. Следовательно, мы получили по формуле (23) превосходное приближение, несмотря на грубость исходной таблицы, в которой погрешность задания чисел b может достигать 5 - 10 .

Если же пользоваться формулой полинома Ньютона по восходящим разностям (25) для с =1,3, то

у = 5220 + 237и - 18,5и (и +1) - гг (и + 1) (и + 2).

J Q49 J g

При и = ~--= - 2,51 это дает (1,049) = 0,4557, т. е. приближение хуже.

Вычислим теперь У; (1,941). Так как аргумент находится в конце таблицы, следует пользоваться как раз формой (25) полинома Ньютона. Она при а -2 имеет вид

у = 5767 -45и -21и(и+ 1)-- ( 4- 1)(и + 2). } g4j 2

При к= д -= - 0,59 получаем (1,941) = 0,5799. Более подробная таблица дает 0,57982. Форма (23) полинома Ньютона, использующая а= 1,7, по причинам, изложенным выше, не дала бы хорошего приближения.

10.3.5. Интерполяционный полином Стирлинга. Напишем полином Р{х) в виде

P(x) = C, + Ci(x -й) + С2(х -а+/г)(х~й) +

+ Сз(х -сН-/г)(х -с)(х -й -/г)-(- ... --Cjix~а-\-kh) ... ... [X -й -(&-l)/z] + C2j,+i(x - -t-ft/z) ... (X -й -й/г)-- .. 26)

Придавая х значения а, а - h, a-+-h, а - 2/г, a-t-2/г, . ., можно постепенно вывести

Ь, = С,. b ,=CQ-hCy,

2ft -(2fe)! ;j2ft i2ft + l- (2Й+1)! 2ft + l

Полином (28) пишут с той же заменой переменных в форме у = м Айц + ( - 1) АЧ , + ( 2 1) +

+ ( 2-1)( -2)Д4й 2 + (и2-1)(и2-4)Д5& 2+ ... (29) Сложив равенства (27) и (29) и разделив на 2, получим

Этот полином называется интерполяционным полиномом Стирлинга. Применение его дает особую точность для точек х, близких к а.

Замечание. Вычисление полинома Стирлинга следует оборвать на

члене Д2й6 д а не на предыдущем члене-i {A2*-ift j,., j + A*~ift j,}, так как

знание двух последних разностей дает разность Д*&-j, без вычисления функции в новых точках. Следовательно, полином Стирлинга - четной степени (2&), и, чтобы построить его, требуется знать функцию в нечетном количестве точек ( 2k~\- 1).

10,3.6. Интерполяционный полином Бесселя, Напишем для точки a-\-h, bi формулу (27), полученную для точки Uq, br,. Это сводится к замене в формуле (27) и на и - 1 и ftp, ft j, b 2, ... на ftj, ftp, ft j, ... Находим

y = -r ( -1) До+ ?Дс.+ (-2Ц S4 , +

+ ---=Ь ,+ ... (31)

Положим и = . Тогда полином (26) принимает вид

у = fto + Д-Н- и (и + 1) Д2 1 + - 1) +

4 1. ( 2-1)( + 2)Д4& 2 + -и(и-1)(и -4)Д&-з+ -. (27>

Напишем интерполяционный полином Р{х) в виде P(x) = Do+Di(x -с) + 02(л: -с)(х -с -/г) +

+ Оз(х -с + /г)(х -с)(х -с -/г)+ ... + Dlx - a--fЬ ~ IU] ...

... (х - а - kK) + Db+i i. - + ft) (. ~ - Т (28) На этот раз коэффициенты будут равны

Do = fto.