= 0,11

находим У; (1,511) = 0,5594.

Более точные таблицы дают (1,511) = 0,55945 ...

Вычислим /1(1,541). Пользуемся полиномом Бесселя, ограниченным членом третьей, степени, иначе говоря, требующим знания четырех точек. Имеем

а=1,5, 0 = 5579, 1 = 5699, Дго=120, Ш = - 41, Д26 1 = -40, Д36 1 = -1.

Отсюда находим полином

у = 5639 + 120 (и - 0,5) - и (и - 1) - и (и - 1) (и - 0.5),

что при гг = 0,41 дает (1,541) = 0,5633.

Более точные таблицы дают (1,541) = 0,56333 ...

10.3.7. Области применения интерполяционных полиномов Ньютона, Стирлинга, Бесселя. Значение а должно быть выбрано в непосредственной близости к значению, для которого мы хотим вычислить приближение функции. Можно пользоваться любой из интерполяционных формул (23), (25), (30), (32) при единственном условии, чтобы разности, необходимые для вычисления, находились в таблице. Поэтому при не очень подробных таблицах формулы Ньютона должны применяться для значений аргумента, лежащих-2/ краев таблицы, а формулы Стирлинга и Бесселя - для значений аргумента, лежащих в середине таблицы.

Сложив (31) и (29) и разделив на 2, получаем

.(.-l)j.-l) з, (--1И.-2).а-- + д--.... (32)

Этот полином называется интерполяционным полиномом Бесселя. Применение его дает особую точность для точек х, близких к середине интер-

вала а~\--.

Замечание. Легко можно заметить, что, так же как и для полинома Стирлинга, следует прервать вычисление полинома Бесселя на члене

Степень полинома Бесселя должна быть нечетной (2k-\-l), а для построения его требуется знать функцию в четном числе точек {2k-\-2).

Пример. Вернемся к таблице п. 10.3.4 и вычислим /j (1,511). Пользуемся полиномом Стирлинга, ограниченным членом второй степени, иначе говоря, требующим знания трех точек. Имеем

а =1.5, 6(,==5579. До=120. Д6 1=160, ti?b y = -40.

Полином равен у = 5579--140м - 20и, откуда при

1,511 - 1,5

Приводимая схема показывает положение в таблицах разностей, необходимых для вычисления, в зависимости от применяемых формул:

10,3.8. Верхний предел ошибки, совершаемой при применении интерполяционных формул Ньютона, Стирлинга, Бесселя. Если можно вычислить последовательные производные функции /(х), то применение формул, дающих верхний предел ошибки, допущенной при использовании полинома Лагранжа, позволяет легко получить следующие результаты.

1) Формула Ньютона по нисходящим разностям. Если М,- верхний предел (х) в интервале а, a~\-nh, то мы имеем (при re-j-l точках)

/ +1

I Rn I < 1 (и - 1) .. (и - п) 1

2) Формула Ньютона по восходящим разностям. Если Mi - тот же предел, но в интервале а, а - nh, то мы имеем (при re-j-1 точках)

/? .< ( +1) ... + (д , 1), +

31 Формула Стирлинга. Если 2 +i - верхний предел / +1) (х) в интервале а - nh, а-\- {n-\-l)h, то мы имеем (при 2ге-j-1 точках)

=Л S Pi То ( i) и- + --р 2 fft ~~ S Pft °

(А = 0. 1, 2.....р).

1=0 1=0 1 = 0

откуда определяем коэффициенты Л,. Тогда средняя величина квадрата ошибки будет равна

А/г Е 1

- -п- = -1-т

П-\-1 п +1

i=o V =о (=0 /J

б) Функция, определенная аналитически. При тех же обозначениях требуется определить коэффициенты А таким образом, чтобы интеграл квадрата ошибки при замене / (х) на Ф (х) в интервале а, b был наименьшим. Этот интеграл равен

E=je.2{x)dx при е(х)=/(х)-Лоср(х)- ... - Л,Фр(х). а

Коэффициенты Л определяются системой, полученной из условия минимума:

ft ft 6

Та = 0 /Тй () То () -Ь - -Ь Ар Jcpft (X) срр (х) dx - Jcpft (X) /(x)dx=0.

а а а

10.3.10. приближение полиномом, определенным с помощью критерия наименьших квадратов.

а) Эмпирическая функция. Здесь выбранные функции

% = хр. (pi = XP-----. <fj,.yx, ф=1

4) Формула Бесселя. Если М+ч - верхний предел /(2 +2) (д;-) j g ц. тервале а - nh, a + (n-\-\)h, то мы имеем (при 2ге+2 точках)

I 2п+2 К I И ( - 1) . . . (И - П) 1И - ( +,!)] I (2П4-2)! 2 +2-

10.3.9. Приближение линейной комбинацией функций, определенной с помощью критерия наименьших квадратов.

а) Эмпирическая функция. Пусть /(х)-данная функция, принимающая

для абсцисс Cq, а-.....а значения Ь, by.....Пусть срц, cpi.....срр - р

выбранных заранее функций и р <i п. Попробуем определить коэффициенты А в выражении

Ф(х) = Ло%()+ЛТ1(--)+ - +ДтЛ)

так, чтобы сумма Е квадратов ошибок, совершенных при замене /(х) на Ф(х) в рассматриваемых точках, была наименьшей. Имеем

£=22 при -Л,ср (а.)-Лср(а.)-...-Лу.рДа.).

Мы получим требуемый минимум, если положим