дАа дА,

Отсюда получается следующая система для определения А, Л,.....Ар-.

о%А±а-+ ... +A±aP = ±b,af.

А, Г + а ?-+ -- +А±аГ = ±Ь,аР-К (33)

\1+1о+---о=1о-

Если данные абсциссы являются равноотстоящими или, более общо, симметрично расположены вокруг центра тяжести, то полезно принять этот центр тяжести за новое начало координат. Это обратит в нуль суммы

i = 0

Средняя величина квадрата ошибки М равна

1 = 0

В п. 10,3.17 приводится другая математическая версия этого условия.

и приближающая функция - полином

AqxP+AixP-+ ... +-Apix+Ap.

Следовательно, вместо того чтобы заменить график эмпирической функции, заданной п-\-\ точками, параболой -й степени, проходящей как раз через эти п-\-1 точки, можно выбрать параболу степени р<,п. Такая парабола, естественно, не сможет пройти через эти п-\-\ точки и в действительности, как правило, не пройдет ни через одну из них, но будет определена требованием пройти возможно ближе к ним. Математически мы определим это условие требованием сделать наименьщей сумму квадратов ощибок О- В точках cq, b, b{i й , b получаем ошибки

Сумма квадратов ошибок равна

Условия для минимума Е даны-уравнениями

иначе говоря,

Отсюда

0,0010250+0.052 = 240,70, 0,05 Ау = 136,55, 0,050+42 =19313.

Ло = -1781,2, 1=2731. Л2 = 4850,5. Парабола, которая представляет в среднем данную функцию, в промежутке между 1 и 1,3, есть

у = 178 1,2(х- 1,15)2+2731 (X- 1,15)+4850,5. Средняя величина квадрата ошибки равна

Ж = 1 [(0,2)2 j (0,5)2 , (0,4)2+ (0,1)2] = 0,11.

б) Функция определена аналитически. Если функция f(x) определена аналитически и, кроме того, легко вычислить интегралы

J xf (х) dx {k - целое положительное число или нуль), а

ТО для определения полинома Aqx + ... + Л, который может заменить в интервале а, b функцию /(х) с наименьшим интегралом от квадрата ошибки, нужно действовать следующим образом. Ошибка в точке х будет

е(х) = /(х) -[ЛоХ+ ... +Л]. (34)

Интеграл от квадрата ошибки равен

£= J е2(х)й?х. (35)

Коэффициенты Ло. Л .... Ар определяются условиями минимума Е, т. е.

1 дЕ

2 дАр

= /хР{АхР+АухР-- ... + Лр-/(х)]й?х = 0

Пример. За эмпирическую функцию примем функцию, определенную четырьмя первыми строками таблицы п. 10.3.4 для функции \ОЧу{х). Попробуем представить эту функцию параболой второй степени.

Помещаем начало координат в точку х=1,15. Эмпирическая функция определяется следующими данными:

ai = -0,15, 2 = -0,05, Сз = 0,05, 04=0,15,

=4401, 2 = 4709, йз=4983, = 5220.

Коэффициенты Aq, Ау, А определяются системой

Ау\а\

Отсюда получается система

Aq fxPdx-+Ai fxP-dx-\- ... + Ар f хР dx= j xP f {x)dx,

a a a a

b b b b

Ao j xPdx + Ai j хР~Ых-]- ... -+Ap f dx= f f(x)dx.

V(36)

Вычисления значительно упростятся, если промежуток интегрирования равен --1, +1. Перейдем к этому случаю с помощью замены переменной

Итак, нам нужно найти полином BqXP-\- ... -{-Bp, который наилуч-щим образом приближается в среднем к функции {X) = /(- + ~~2~ в промежутке между -1 и + 1.

Положим

1 . -

1 / X(X)dX:=f,.

Так как

xdX

, f

то система (36) принимает вид

+4 в,-,

+ тВр-ь+

+ 5P~

+тВр,

т Vi

+ -9 Вр 4

= /0.

Средняя величина квадрата ощибки равна М = = . Учитывая

формулы (34) и (35) и систему (36), можем написать

= ~ J<i4X)dX~YBji.

-I i=0

Результат вычисления коэффициентов В и величин = 2 В Ji как

1 = 0