функции интегралов / для различных значений р приведен в следующей таблице:

йо = 3/, fi> = /о

1=0 + 3/?

0=-[-0 + 3/2] £, - 3/,

2=/0 + 3.t + l3y2-y,j2

[-3/, + 5/з] [-/о + з/] 15/,-7/з]

3= 4-[3/о-5/2]

a3=/2 4-3/? + i-[3/2-/oF +

[3/0-30/2 + 35/,] £>=[-3/,+5/з]

?з=-[5/,-7/з] £4=[15/0-70/2 + 63/4]

[-5/0 + 42/2-45/4]

4 15

4= /o+3/f + [3/2-/o]2 + + l[5/3-3/i]2+.

fio=[15/,-70/3 + 63/E] .= -[34-30/2 + 35/,] B2

£з = [- 5/0 + 42/2 - 45/4] 4=-ё?-[35-1263+ 99/5]

315 64

[-21/.+ 90/3-77/5]

105 32 J05 64

--[15/0-70/2 + 63/4]

°5 = 0 + i+-4-[32-0] +

. +T[53-3/i]2 +

+ [35/4-30/2+ 3/o]2 + + [63/5-70/3+15/i]2

f Х1п(1,5 + 0,5)й?= f (2x~3)lnxdx = -21п2 + -. i i

f Xln(\,5 + 0,5X)dX = f (2x - df\nxdx = 2ln2-.

-I -1

J 3In(1,5+ 0,5A-)Й?A-= y(2x -3)31пхй?х = -101п2 + 7. -1 -1

Отсюда, пользуясь формулами предыдущей таблицы и значением in 2 = = 0,6931472, ощибка которого не превосходит 2- 10~, получаем

Во = 0,0133, = -0,0583, 52=0,3331, Вз=0,4057.

Имеем

J (In x)2rfx== 2 (In 2)2 -4 In 2 + 2 = 0,18831736, a = 0,18831731.

Следовательно, средняя квадратичная ощибка (т. е. корень из средней величины квадрата ощибки) есть уЖ = 2- 10 . Итак, можно приближенно заменить функцию 1плг между 1 и 2 полиномом

0,0133 (2х - 3)3 - 0,0583 (2х - 3)+0,3331 (2х - 3) + 0,4057.

Замечание. Рассмотренный способ вычисления в равной степени подходит и к случаю, когда функция - эмпирическая, заданная графиком. При этом интегралы /р, Ii. вычисляются тоже графически.

Приближение отрезком ряда Фурье. Задача гармонического анализа

Как и для приближения полиномом, мы будем различать случаи, когда функция задана аналитически, графически или таблицей ординат, соответствующих равноотстоящим абсциссам.

10.3.11. Функция задана аналитически. Предположим, что функция (f(X) известна в промежутке 0,2ii. В п. 2.1.5 мы видели, что коэффициенты выражения

S (Х) = 6о + 2 а sin + 2 cos kX (37)

k=l . k=l

пример. Попробуем определить полином третьей степени, который в промежутке от 1 до 2 наиболее близок к функции 1пх. Это можно свести к определению полинома

наиболее близкому к функции

In (1.5+ 0,5)

в промежутке от -1 до 1. .

Имеем 1

j \Ti{\,5-{-Q,5X)dX= f 1пхй?х = 21п2 -1.

такого, что средняя величина квадрата ошибки

минимальна, даны выражениями

а I (X)smkXdX, b = j {X)coskXdX, 6 0

0=/?(X)dX.

(38)

При этом средняя величина квадрата ошибки фавна

J 2я

1 ( 1 + 1 й = 1

Если функция /(х) определена в промежутке 8, 6--Г, то мы придем к предыдущему случаю при помощи замены переменной

х=е+. - (3.9)

Тогда задача будет заключаться в приближении к функции

T() = /(e+i)

при помощи тригонометрической суммы (37).

Этим приемом можно также пользоваться в силу примечания, сделанного по поводу приближения полиномами, если функция известна из графика. При этом нужно графически же производить интегрирование, которого требует применение формул (38).

10.3.12. Эмпирическая функция. Функция известна из таблицы, дающей и-1-1 значение у, у;, у для п-{-\ значений Xq, х, х аргумента, делящих промежуток О, 2ir на п равных частей.

Если бы промежуток простирался от 6 до 6 + Т, то достаточно было бы произвести замену переменной по формуле (39).

Пусть

Sp{x) = ba-i- cos kx-{- а, sin kx . (40/

ft = i

ft= 1

- р-я частная сумма ряда Фурье. Задача будет иметь смысл, лишь если число 2р-\-1 коэффициентов, которые нужно определить, меньше или равно числу уравнений

У1-Ьо+ 2 6feC0sAx,-+ 2 asinkxi- (41)

ft= 1

Если 2p.:> n, TO 2/7-1-1 коэффициентов могут быть определены бесконечным количеством способов.

*) В п. 2.1.5. ща. Величина обозначалась буквой Е.