/l = 1 /2 = 4

/.2 = 0 / = 0,2 /,0 = 0,5

/3 = 5 Л = 4

/9=1 /з = 3

/5 = 3 /в = 3,5 /7 = 3,5

5о = 0

5, = 1,2 rf, =0,8

S2 = 4,5 S3 = 6 5, = 7 = 3,5 йз = 4 Й4 = 1

5о = 0 5, = 1,2 So = 3,5 55 = 6,5

S2 = 4,5 54 = 7

5з = 6

= 6,5 So = 3,5 ds=~0.5

rf, = 0,8 2 = 3.5 йз = 4 Й5 = -0,5 Й4 = 1

Для вычисления нужно ввести ординаты, соответствующие ~-, -.ir.

5 7

4-п.. -f иначе говоря у, у 9, у 15, у. Тогда

2 2 2 2

2 = X (У - У1 + - У21 .

2 2 2 2

Пример. Применим этот способ к предыдущему примеру. Тогда

120 = 28,7. 63 = -1, баз = - 3,7, 6ai = 8,3.

6Й1 = -10,5, 4г>2 = -2,5, 4а2=1,7.

Это хорошо согласуется с полученными ранее результатами. Кривая

у = 2,391 - 1,584 cos х+ 1.384 sin х - 0,625 cos 2х +

+ 0,425 sin 2х - 0,166 cos Зх- 0,616 sin Зх

изображена пунктиром на рис. 10.12.

10.3.14. Приближение эмпирической функции линейной комбинацией показательных функций. Пусть /(х) - функция, данная значениями Ь, .....ft , взятыми на равноотстоящих абсциссах

Uq, aQ-\~h, aQ + 2/г, .... а-\-пк.

Пусть Ф(х) = Л + 5еР--)-Сег-j-De*---линейная комбинация, ограниченная тремя показательными функциями (легко провести вычисление и для большего их числа). Определим 7 параметров А, В, С, D, р, f, о при помощи критерия наименьших квадратов (к -- 1 > 7). Имеем

Ф (ад -j-Щ = А + Ве? + СеГ ( o-i- ) j £)еб (/ = 0, 1, 2, ..., п).

Положим

еР = н J, ет = 2, е = и;

Если бы функция Ф(х) совпадала с /(х) в /г+1 рассматриваемых точках, мы имели бы

г+2 = + + 9/ 2 +V4.

Ь. = А + рж\ + дм1 + гм1. :

Первая разность таблицы для di дает

1 = Рг ( 1 - 1) + 9i( 2 - 1) + ( 3 - 1). = Л ( 1 - 1) 1 + ( 2 - 1) 2 +( 3 - 1) 3. +2 = Pi + (S - 1) 2 + ( 3-1) 4.

i+3 = ( 1 ~ 1) + 9Д 2 - 1) и + г ( 3-1) 4-Исключаем р,-, j, г- из этих уравнений. Тогда

к (- 1 2 з) + (12 + 1 з-Ь 2 з) + Д/+2 (- 1 - 2 - %) + Дг+з 0.

к 3

Е = 2 {А Н- Bpl Н- Сд[ + Dr.-

Положим

~ Uy -и -и= Sy. .

Предыдущее уравнение принимает вид

V3 + + 1+71 + 1+3 = 0.

Имеем систему из /г-3 уравнений с тремя неизвестными. Мы получаем

ее, придавая i значения О, 1.....п - 4. Так как п больше 6, то эта

система несовместна. Если в нее подставить какую-нибудь систему значений S], S2, S3, то п - 3 результата подстановки равны не нулю, а соответственно Ер, By, е 4. Определим систему значений Sy, $2, S3 таким образом, чтобы сумма квадратов ошибок

Ее1+ ... +е2 ,= 2[Д,.з-ЬА,1.2++2, + -Ч+зГ была минимальной. Тогда

л-4 п-1 п-4 и-4

1 = 0 1 = 0 j=0 i = 0

л-4 и-4 п-4 я-4

i=o г=о /=о 1-0

п-4 п-4 л-4 п-4

i=o г=о j=o (=0

Пусть Sj, $2, S3 - значения, полученные из трех предыдущих уравнений. Тогда Uy, %-корни уравнения

tfi -)- sjfi-j- sg -}- = 0.

Отсюда

Р = -1пк Y = Aintt2, 8=-1пКз. Сумма квадратов ошибок будет

и-4 и-4 п-4 л-4

з2+зА Н-52 2 Af+sAi+i-l-Si] Аг+зАг+2+2] г+з-

t=0 г = 0 i = 0 1 = 0

Если уравнение по к имеет сопряженные комплексные корни, представление через комбинацию экспонент не подойдет. Тут следует испробовать комбинацию из экспоненты и экспоненты, умноженной на тригонометрическую функцию.

Так как величины р, 7, 8 известны, то при обозначениях = е 9=г ег ( с+й), ;. g6(a +(A) получаем для определения А, В, С, D следующую систему из д-)-1 несовместных уравнений:

A + Bp + Cq + Dr.-b = 0 (i = 0, 1, 2.....п).

Тогда сумма квадратов ошибок равна