1 = 0 п

1=0 п

1 = 0 п

1 = 0

1 = 0 п

1 = 0 п

1 = 0

1 = 0

1=0 1 = 0 1=0 i=0 i=0

7 i=i ;+ i +i Ж+о I - i =

i = 0 1=0 i=0 1=0 1=0

определяющая A, B, C, D с суммой квадратов ошибок, равной

E-Abi + BPibi + C Zgibi + D 2 rlbi-j bi

i = 0 1 = 0 i = 0 i = 0 i=0

Пример. Эмпирическая функция задана таблицей

Из природы рассматриваемого явления следует, что для приближения рассматриваемой функции следует взять формулу типа

у = Л+Бе?-.

Так как имеется только одна экспонента, то суммирование в уравнении, служащим для определения р, должно простираться от О до - 2. Имеем

и-2 и-2.

h 2 Д?Н- 2 Д/Д +1 = 261,llSi + 407,83 = 0,

i=0 (=0

откуда 1 = - 1 = 1,562 и р = in к, = 0,446 при сумме квадратов ошибок

и-2 л-2

£ = 51 2 ДгД+1+ 2 Дг+1 = 407,835,+ 637,11 =0,08.

1=0 1=0

Применение способа наименьших квадратов к 10 уравнениям

bi = A~\-Bef или bi = A-+Bu{ (г = 0, 1. .... 9) дает систему

( +1)л+б2 к{ = 2*/.

(=0 (=0

2 1 + в2 к?= 2Mi.

i=0 i=0 j=0

Отсюда получается система

иначе говоря,

10Л+152В= 16,8. 152Л + 5191Б=3091.

Отсюда

Л = -13,12 и В = 0,974 при сумме квадратов ошибок

£ = Л 2 + = -2,14.

/=0 1=0

Следовательно, приближенная формула есть

у = 0,974е0- -13,12.

10.3.1Б. Приближение функции по Чебышеву. Дана функция f(x), непрерывная вместе со своими производными, в интервале а, Ь. Как мы уже видели, общая задача приближения заключается в том, чтобы найти функцию g{x), которая наилучшим образом приближает /(х) в этом интервале. Выражение наилучшим образом мол<;ет быть определено критерием наименьших квадратов, что приведет к способам приближения, описанным в п. 10.3.9 и последующих. Выражение это может быть также определено условием сделать как можно меньшим наибольшее отклонение между /(х) и g(x). Это называется приближением по Чебышеву.

Функция g(x) должна быть удобнее в обращении, чем функция /(х). Мы ограничимся случаем, когда (х) представляет собой полином Р(х).

Нахождение полинома, который делает максимум отклонения от /(х) на промежутке а, b наименьшим по сравнению с любым другим полиномом той же степени, есть очень трудная задача. Мы будем поэтому решать несколько более легкую задачу и искать полином, который делает этот максимум по возможности малым.

Не уменьшая общности, всегда можно предположить, что интервал определения равен -1, +1, так как перенос начала на у(а-)-&) и изменение

масштаба в отношении -{Ь - а) немедленно приведут к этому случаю.

Мы видели в п. 10.3.2, что полином Р (х) к-й степени, совпадающий с данной функцией /(х) в п-\~\ точках интервала с абсциссами а, представляет собой интерполяционный полином Лагранжа и что ошибка, совершенная в точке X при замене /(х) полиномом Р{х), равна

К(x)==/(x) -Р(х)==(х -ао)(х -Ci) ... (X -aj-;::.

Абсцисса 7J здесь такова, что >}.< 1-

Определим последовательность абсцисс а таким образом, чтобы абсолютное значение максимума R (x) было возможно меньшим, когда х пробегает интервал -1, +1.

Возьмем (х~а(х~а,) ...(х - а ) = 2 Т +у(х). Здесь r +i(x) - полином Чебышева (к+1)-й степени, и поэтому а будут нулями этого полинома.

Известно, что, в силу свойств полинома Чебышева (п. 7.9.4), полином 2 r i(x) принимает попеременно /г-(-2 раза значения ±2 , когда х возрастает от -1 до -)- 1, и что это единственный полином вида х + + ..., наибольшие абсолютные значения амплитуд которого (все равные 2 ) -

а, = cos

\ + 1 2J

{1=0, 1, 2.....п).

Теперь искомый полином Р{х) может быть написан в виде формулы, дающей интерполяционный полином Лагранжа для абсцисс с, определенных предыдущим выражением. Однако предпочтительнее поступить иначе. Всякая степень может быть разложена в линейную комбинацию полиномов Чебы--шева степеней <;/-. Например,

хб = {10Го+15Г2 + 6Г4 + Гб}. Поэтому искомый полином Р{х) может быть записан в виде

ft = 0

Достаточно определить коэффициенты Ь. Функцию fix) можно написать в виде

Положим x = cos6. Имеем

/ (cos 6) = cp (6) = 2 Ь/, cos kQ + R (x).

ft = 0

Для значений = cos -фу -g j ы имеем

/(с)=2№Ю-

Следовательно, для значений 6 = имеем

<р(е/) = 2 cosftG;.

ft=0

Значит, коэффициенты b представляют собой коэффициенты разложения в ряд Фурье, ограниченный к-м членом, четной функции / (cos 6) (п. 7.9.3). Отсюда

и

o = ib, = -fia,)n(ai).

/=о г=о

Пример. Найдем полином третьей степени, приближающийся, по Чебы-шеву, к функции / (х) = In (1,5 + 0,5х) между -1 и + 1. Полином, приближающий эту функцию, был уже определен критерием наименьших квадратов (п. 10.3.10).

самые малые из всех возможных. Последовательность значений будет поэтому

2г+1 -kS