23 4! 1,5* 10000

если заменить yj числом О, которое является серединой рассматриваемого интервала.

10.3.16. Применение ряда Тейлора. Если функция f(x) задана аналитически, то вычислить значение, которое она принимает для значения х переменной, можно кроме уже описанных еще и другими способами. Наиболее употребительно разложение в ряд Тейлора.

Если можно определить функцию и ее последовательные производные для значения а, близкого к х, то ряд Тейлора вблизи а может быть написан в виде

/ (X) = / (а) + (X - а) / (а) + ... + (х- - а) f \a) + /?

Мы имеем п - Ъ, Ui = cos yJ . Поэтому

ao=:cos--= 0,923879, 60 = -. ai = cos-= 0,382683, 61 = , asCOS = -0,382683, 62 = ,

3 = COS- = - 0,923879, 63=,

/(ao)=!n 1,96194 = 0,673941, -

/(ai) = In 1,69134 = 0,525519, / (as) = In 1,30866 = 0.269011, / (йз) = In 1,03806 = 0,037357,

= 0,376457.

j = 0

bi = \f {a cos Ьi 0,343144,

b2,=\f(aj)coslbi=. - 0m4n,

>3 = -2/(aj)cos3ej= 0,003313.

i = 0

Отсюда полином будет

P(x) = bQ+biTi(x) + b2T2ix)+b,T,(x),

иначе говоря,

Р (X) = 0,40588 + 0,33320х - 0,05885x2+ 0,01325л;3. Ошибка будет порядка

1 6 0,5* 4

М здесь обозначает наибольшее значение, которое может принимать (х)\

между X и а.

Пример. Вычислить е~. Разложение в ряд Тейлора е- вблизи х = 1 будет

е- = е- [l -(х- 1) + -1(х- 1)2-(х- 1)3+ .. Ошибка разложения в скобках равна, если ограничиться четырьмя первыми членами, (х-1)=10 -

Обозначим через Де ошибку, которая получается, если писать не все цифры е~. Предположим, что имеющаяся в нашем распоряжении таблица дает только первые 6 значащих цифр. Общая ошибка по недостатку будет тогда

-1 10

h 1+0.1

0,01 , 0,001

Де-1.

Если принять е = 0,367879 с ошибкой, меньшей 10 , то мы получим

общую ошибку по недостатку, меньшую 2,6. 10~. Можно поэтому написать

е-0,9 е-1 J1 0,1 + + -] = 0,367879 = 0,4065676

с точностью до 2,6 10~® по недостатку.

Истинное значение е~°9 равно 0,406569659.

10.4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Пусть функция задана таблично. Заменим ее интерполяционным полиномом.- Дифференцирование этого полинома даст нам приближения для последовательных производных функции.

Будем всегда обозначать шаг интерполяции через h, начальное значение X через а и через и - переменную и= . Дифференцирование интерполяционного полинома Ньютона по нисходящим разностям (формула (23)) дает

Зи2 -бн + 2

9 1

/гу (а + /гк) = Дй + АЧ -

дзг>о+

- hW {а + ha) = ДЧ + ( -!) b?b, + tX +

(47).

Если в этих выражениях к = 0, то

у ( )=4 I До - ДЧ+ Д п

Д6- ...

> ( ) = i [До -1 До+т До - До+

4-Л2 + 1дз д. + .1.д5 ...

в последней строчке запись дана в операционной форме. Она не должна вызывать трудностей.

Если в выражении (47) придавать и последовательно значения 1, 2,

3..... то легко получить у(а-)-/г), y {a-\~h), у(а-f-2/г), у (а--

+ 2/г), у(а + 3/г), у (а + 3/г), ...

В формулах (47) и (48) используются разности на нисходящей диагонали, проходящей через /(а) = Ь. Полезно привести соответствующие формулы, полученные из интерполяционного полинома Ньютона по восходящим разностям и интерполяционного полинома Стирлинга, где используются разности, расположенные соответственно на восходящей диагонали и по обеим сторонам горизонтали, проходящей через Ь.

Интерполяционный полином Ньютона по восходящим разностям дает

у (а)=i [дг> 1 +1 b 2+1 Азг> з+

у (а):

(49)

у( ) (а) =

Д + -1Д2 + 1ДЗ + Д4 + 1Д5 ...

где индекс а равен показателю при Д.

Точно Так же применение интерполяционного полинома Стирлинга дает

90 -3 1 Д56 2--А5й з

7 A7u 3-f Д7й 4

240 -6 1 A7t 3-f А7й 4

(50)

Пример. Вычислим производную у = arctgх для х = 0,515, пользуясь таблицей разностей этой функции, приведенной в п. 10.3.3 (/г = 0,001). Здесь следует применить первую формулу (48), где используются разности, находящиеся на нисходящей диагонали, начиная с 0,515. Тогда

У (0,515);

L ( 0,001 \

0,000 790 051 505 + 321815

Точное значение у(0,515) равно

- 0,5152-fl

= 0,790 373 256.

: 0,790 373 254...