С помощью той же таблицы вычислим у(0.518). При этом следует применить первую формулу, полздгенную из полинома Стирлинга, где используются разности, находящиеся в непосредственной близости с горизонталью, проходящей через 0,518. Тогда

0,000 788 442 038

у(0.518)

0,001

= 0,788 442 069.

Точное значение у(0,518) равно

= 0,788 442 070.

0,5182 + 1

Замечание. В случае эмпирической кривой, где ординаты получаются с погрешностями, рассмотренные способы вычисления производных приводят часто к обескураживающим результатам. Можно сравнить численное разыскание производной функции, известной приближенно, с графическим проведением касательной к грзо начерченной кривой. Легко сообразить, что небольшое изменение формы кривой вблизи рассматриваемой точки значительно влияет на ход касательной, тогда как область, ограниченная кривой, меняется при этом очень мало.

10.5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

10.5.1. Числа Бернулли. По определению, и-е число Бернулли - это

коэффициент при--п~ в разложении в ряд по возрастающим степеням t

t t

функции 2- ctg .

t t , at <

(2я)!

(51)

Левую часть можно написать в виде j--. ~ . Заменив jt на в обеих

2 е-* ~ 1

частях формулы (51), получим

-4 = 1+в ~B,+-...+i-xrB

2 et - \

(2 )!

Уменьшив на обе части уравнения (52), можем написать

t , t . t t..... + l

et-\ 2 2! 4! г v п

(2 ):

(52)

(53)

Умножим обе части уравнения (52) на е -1 и разложим е в ряд. Тогда отождествление коэффициентов при одинаковых степенях t в обеих частях уравнения дает для первых чисел Бернулли:

5 р 691 7

б-9730 -- 6

R 3617 43 867

174 611

236 364 091 12- 2730 is -

В п. 2.1.4 была установлена формула

1 т,х jc l 1 - х

330 8 553 103 6

2730 854 513 138

1 2х

cig --. = -

fctgi -iItISt- (4)

Сравнив (51) и (54), получаем

1 (2 )!. 1

Начиная с /г =5, числа Бернулли возрастают очгнь быстро вместе с /г.

10.Б.2. Полином Бернулли. Обозначим через Ф (г;) полином Бернулли л-й степени. Мы определим его с помощью производящей функции

Имеем

А 2 21 4! ;

V I 2!

Сравнив эту формулу с (55), получим

- cnB,z -+... + (-D+cfs..- - + ... (56)

Если п - четное число, большее 2, то последний член равен

(-ifB z.

2 *

Если п - нечетное число, большее 1, то последний член равен

(-1) B i2.

Полиномы Бернулли обладают следующим свойством: если, используя определяющую формулу (55), написать

то, разложив левую часть в степенной ряд и приравняв коэффициенты при t

- в обеих частях, мы получим

Ф (2+1) -Ф (2) = 2 ->- (57)

Заменив последовательно z целыми числами р - I, р - 2, ... и сложив люлученные таким образом выражения, находим для м > 1, считая Фр(г;) = 0:

= 1 - + 2 - + 3 ... -г (/ - 1)

Заменив чех на , получим

- j

et - \ ~l е*~\

Из разложения в ряд (53) находим искомый коэффициент

Ф2И. (i)-2 (-l) -5(2-1). (61)

производная фn{z) полинома Бернулли п-то порядка такова, что

Если п=2т (/№>!), то, так как разложение второго члена правой части (62) не содержит, согласно (53), членов нечетного порядка, большего 2, можно написать = 2/?1Ф2 ; (г). Следовательно,

Ф2 .() = 0. Подобным же вычислением можно показать, что

Ф2т+1{г) = Ф2т-1{г).

Если п = 2п1+1, то, приравняв коэффициенты при 2т+1)1 обеих частях (62), получим, учитывая (53) и (55),

Фк+1(г) = Ф2(г) + (-1) +в. (63)

2те4-1

Теперь можно сделать следующие выводы о дсорнях Ф (z). Полином Фгт+тС) равный нулю при z = 0, z=l, не обращается в нуль в интервале (О, 1) за исключением точки гг = 4 - Действительно, если бы полином ®2m+i обращался в этом интервале в нуль два раза, то его производная Ф2т+1 обращалась бы в нуль по крайней мере три раза, а его вторая производная- по крайней мере два раза. Иначе говоря, полином Фг-! обращался бы в нуль по крайней мере два раза. Продолжая рассуждение до Фд, мы можем показать, что этот полином третьей степени два раза обращался

Разложив в ряд обе части тождества

и приравняв коэффициенты при в обеих частях, имеем

Ф (г) = (-1) Ф (1 z). (58)

Из формул (56) - (58) получаем

ФЛ0)=ФЛ1) = 0 (и>1). (59)

*2m±i(4) = 0 (т>1). - (60)

Чтобы найти значение Фт ( 2 ) Достаточно отыскать коэффициент при f разложении производящей функции (55), где z = -. Имеем