бы В нуль внутри промежутка (О, I). а с учетом точек О и 1-четыре раза, что невозможно.

Полином Фп равный нулю при гг = 0, z=l, не обращается в нуль в интервале (О, 1). Действительно, если бы это было не так, то его первая производная обращалась бы в- нуль в промежутке (О, I) по крайней мере два раза. Но это невозможно в силу предыдущего рассуждения, так как Фг = - 2тФ2т-1- Полином проходит через максимум при г =1/2.

Первые полиномы Бернулли таковы:

Ф, = г,

Ф2=22-гг = гг(г-I),

Фз=3 24

Ф4 = г4 - 2.гЗ-h .г2 = (2 - 1)2,

Ф, = 25-г + 2-г = г(г-1-уг-1)[г(2-1)- . 10.5.3. Формула Эйлера. Рассмотрим тождество

лг+й ft

F{x+k) - F{x): J F{t)dt = j F(xh - t)df..

X 0 .

Проинтегрируем последовательно по частям. Получаем

F{x + h)--F{x) = hF{x)-\-F {x-Srh - t)tdt,

о .

F{x + h)~F{x) = hF + / F {x+h-t)dt,

F{x + h)~F{X) = hF(X)F {x) ...

(2p)\

+ [ FP-Hx+h - t)

(2py.

(64)

Применим формулу (64) к последовательным производным (х), F {х). ...

----(х), ограничив разложения членами, содержащими производную

/<2р)(х). Умножив соответственно на h, .....получаем

ft2P

h \F (X + /г) - F (X)] = hF (X) + ... + (ip-\y. +

hf F \x-h~t)-dt.

hP-\FP-\x+K)~F-\x)\ =

= ;2p,(2p, 2p-l J ,(2p+l) (

с =

1 - 4 + cIb, - с1Б2 + (fkBz -h ...

т. е. в силу формулы (56), где взято z=\.

Это выражение равно нулю, как показывает формула (59). Поэтому результат сложения равен . .

F{x -Ь h)-F(x) = l-h[F(x + h) - F {X)] ~-h{F ix+h)-F\x)\

+ (--J) 72 [ {x + h)~ F - (X)] +

,.(2/7)! 2 (2p -1)! 2! (2/ - 2)! I

R /,2ft R /,2p-2 I ( + 1 /2p-2fe I ( l)P P- 2

. --(. (2fe)! (2p -2А)! -t- -M. Ч (2p -2)! 2!

(66)

По формуле (56) полином в квадратных скобках под знаком интеграла может быть написан в виде

(2р)! P\h]-

Положим F (х) = / (х). Тогда равенство (66) можно записать в виде J f{x)dx = [f{x + h)+f{x)\--hHf{x-h)~f{x)]+ ...

(2/7-2)!

0 46

+i-ir-ioh -[f-\x+h)-f-ix)]+R. (67)

Умножим равенство (64) на единицу, первое равенство (65) на - второе

равенство (65) на , третье равенство (65) на нуль, четвертое на - , ... (-1) B t

.... {2р - 2)-е на (рр г)у и результаты сложим. В правой части полученной таким образом суммы коэффициент при F будет равен нулю, коэф-

1 II В

фициент при F , равный -- 9 2 21 также нулем. Легко

показать, что коэффициент при F*, равный

1 1 1 ,61 1 Д2 1 , Дз. 1. I ~ k\ 2(-1)! 2! {k - 2)\ 4! (fe-4)!~~61 ( -6)! Т

есть нуль. Действительно, вынося множитель ~ , получаем

Но согласно формуле (63) можно заменить Фр на 2р+1 - - Так как Ф2р ,1 (0; = Og+j (1) = О, R сводится к

R ( 1)Р й2р+1 Jf fP) е,/г). (68)

2. ФгС/г)-наибольшее по абсолютной величине значение Фгр (2) между О Если f сохраняет между х и о среднем дает возможность написать

и 1. Если f сохраняет между х к x-\-h постоянный знак, то теорема

Р = +Ф.

(60 J fP\x-\-h - t)dt

где 6 и 62 обозначают два числа между О и I.

Вводим значение ФгрО/г) Данное уравнением (61). Тогда

: Р = 262 (-!)--> /,2Р (-L 1 j [/(2-1 + /,) /2.-1> ()1 ,69)

Применяем формулу (67) последовательно к интервалам а, а -f-h; a-\~h, a-\-2h; а-(-(п-l)h, a-\-nh = b. Положим

/(а) = Уо, f{ah)=yi, f{aah) = f{b) = y-,.

Складывая ti полученных выражений, получаем формулу Эйлера:

f f{x)dx=k{~yo-yyi-y2-i- ... +y -i-hyy - о

+i~r-h -nf- (b)~f - ia)\+R, (70)

Ri = (-if-h-[/Uxi)+f\x2)+ ... -hfUxJ. (71)

Это последнее выражение получаем из формулы (68), обозначив через

Ху..... х абсщ1ссы точек, заключенных в интервалах а, а-j-/г; ...

a~i-(n-l)h, b. Если функция /\х) сохраняет постоянный знак в интервале а, Ь, то в силу формулы (69) можно написать

Ry = 262 ( 1)--Л-[/ 1 ip)-fP- (a)J. (72)

Выведем для R две формулы, удобные для использования.

1. Известно, что Ф2 (2) сохраняет знак между О и 1. Поэтому можно применить теорему о среднем и, обозначив через 6; число, заключенное между О и I. написать