Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 [ 236 ] 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Существенное замечание. Так как числа Бернулли очень быстро

возрастают вместе с /?, то весьма важно заметить, что остаточный член R,

вообще говоря, бесконечно возрастает вместе с р, если h фиксировано.

Но если h стремится к нулю, а р фиксировано, то R быстро стремится

к нулю. Формула Эйлера (70) представляет собой асимптотический ряд.

Пример. Требуется найти j . Результат известен заранее:

1п 1,6 = 0,4700036292 ...

Делим промежуток интегрирования на щесть частичных интервалов (/г = О, 1) и применяем формулу Эйлера при р, равном 3.

Вычислим сначала верхнюю границу соверщенной ощибки. Так как

последовательные производные - сохраняют постоянный знак между 1 и 1,6,

то R следует взять в виде (72): P = 0{-2)(O,1)6

(1,6) J

= -8 . 10

Применение формулы Эйлера дает 1,1,1,1

In 1,6=0,1

n.llll i l Lll М

~ 1,1 Т2 1,3 Т4 1,5 2 1,6 f

- \-W- м4г [ + 4п 0-0001 \ - ttIvT [ 4-0,0500000000 12 1 р (1,6)= / 720 \ 1 (1,6) I 0,0909090909

0,0833333333 0,0769230769 0,0714285714 0,0666666666 0,0312500000

-0,0005078125 +0.0000007061 0,4700036327.

откуда 0,470003624 < 1п 1,6 < 0,470003632.

Замечание. Из предыдущего примера видно, что применение формулы Эйлера позволяет получить очень больщш точность при приближенном вычислении определенного интеграла. Это, однако, верно при условии, что имеется возможность вычислить последовательные значения производных интегрируемой функции на концах промежутка интегрирования и, сверх того, для вычисления соверщенной ощибки найти оценку производной высокого порядка внутри этого промежутка. Это, конечно, невозможно, если функция дана в эмпирической форме, и часто бывает затруднительно, если аналитическая форма интегрируемой функции сложна. Отсюда возникает необходимость установить некоторое количество формул достаточной точности, вводящих производные интегрируемой функции только в необязательный первый поправочный член.

10.5.4. Формула трапеций. Если в формуле Эйлера положить р-\, то получим формулу трапеций:

/(x)dx =/г[-2-уо + у1 + У2Ч- Уn-i-Уn\ + Rl



0,470509

при ошибке /?1 <-(0,1)3 2 = 0,001. Точность здесь довольно посредственная. Если вычисление первых производных доступно, то можно вычислить поправочный член, положив /? = 2 в формуле Эйлера: ь

Г1 , . , , 1

/(x)dx=/гУо -НУН- +y -i+yy J--T2l/(*) -/( )]-Ьм

(75)

с ошибкой

iPi<-/27H\ - (76)

где Ж обозначает верхний предел абсолютного значения производной /(л;). В рассмотренном примере этот поправочный член равен -0,000507, откуда In 1,6 = 0,470002 при ошибке, меньшей 0,000002 по абсолютному значению.

10.5.Б. Формула Симпсона. Предположим, что число частичных интервалов четное. Пишем формулу Эйлера для р = 2, иначе говоря, равенство (75) с остаточным членом, получающимся из (71), если поло.жить р = 2:

I 1К W1 + + (n)l-

Применяем формулу (75) к к/2 интервалов, полученных слиянием каждых двух смежных интервалов. Тогда

Г1 . , , , . 1

/ (X) dx = 2h Уо+У2 -+ У4 + . . . +y 2-hy y J - 1ГФ}-Г /?2

(77)

4/j2,

где х[-точка интервала а, с-[-2/г, х-точка интервала a-\-2h, a~\-4h, .. .

Исключаем поправочный член из выражений (75) и (77). ,Цля этого достаточно вычесть второе из первого, умноженного на 4. Получаем формулу Симпсона:

/(х)йх = [уо+4у,--2у,--4уз-- ... -)-4y i-Hy ]--/?з- (78)

Если функция эмпирическая, то вычислить ошибку /?j невозможно. Если можно вычислить вторую производную и обозначить через М верхний предел абсолютного значения этой производной в интервале а, Ь, то

\RA<~hm . , (74)

Применим формулу трапеций к предыдущему примеру. Имеем

In 1,6 = О,Ь 0,5 i-- +-f +-jl-+ + У5 +-1 } = 0,050000 ( 1,1 1.г 1,6 1,4 1,й г i,b J 0,090909

0,083333

. 0,076923

0,071428 0,066666 0,031250



</2Ж (79)

Применяем формулу Симпсона к предыдущему примеру: 1 1 R 0,1 /, , 4 , 2 , 4 , 2 , 4 I \

0,03333333 0,12121212 0,05555555 0,10256410 0,04761904 0,08888888 0,02083333 0,47000636

с погрешностью

1з1<т§8(0Л)-24 = 1.3. 10-

Если в формуле Эйлера положить р=3, предыдущие вычисления дают возможность написать формулу Симпсона с поправочным членом;

/(х)йх=-[Уо-1-4у1-}-2у2--)-4узН- ... +4у 1+у ] -

- WI/ № - ( )] + 4- (80)

Это улучшение дает в качестве верхнего предела абсолютного значения погрешности

[RKnhM . (81)

где Ж - верхний предел абсолютного значения /(х) в интервале а, Ь. Применим формулу (80) к предыдущему примеру. Поправочный член равен -0,00000282... Отсюда in 1,6 = 0,47000356... с ошибкой, меньшей по абсолютному значению

(0,1)7 6 != 0,00000032.

10.5.6. Формула Уэддля. Предположим, что интервал интегрирования разделен на п интервалов, где п кратно 6. Тогда с помощью вычисления, совершенно подобного предыдущему, можно написать формулу Эйлера при р = 3 сначала для п интервалов, затем для к/2 интервалов, полученных соединением смежных интервалов по два, а потом для к/3 интервалов, полученных соединением смежных интервалов по три. Все три написанных таким образом выражения позволяют исключить оба члена, содержащие первые и третьи производные. Достаточно для этого первое выражение, умноженное на 15, сложить с третьим и вычесть второе, умноженное на 6. Так получаем формулу Уэддля:

f {X)dx = -тр[Уо-f -5у1 + У2 + буз-i-у, 4-5у.5 + 2уб-\-5у-,-I-yg + Уа+

- -r6y 3-i~y 2-i-5y ,-ry l-i-/;;5 (82)

Если можно вычислить верхний предел Ж абсолютного значения чет вертой производной в интервале а, Ь, то.мы совершаем погрешность



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 [ 236 ] 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251