840 при

1б1< аето 8>

где Ж - верхний предел абсолютного значения у (х) в интервале а, Ь.

Для пр.едыдущего примера поправочный член в формуле (84) будет равен -0,000000134. Отсюда In 1,6 =0,470003612 при ошибке, меньшей по абсолютному значению

6(0,1)981 = 0,00000016.

252 000

10.5.7. Формула Грегори. Когда функция известна эмпирически, можно составить таблицу разностей. Если в формулу Эйлера ввести значения производных, выраженйых по формулам (48) через разности, то мы получим после некоторых вычислений формулу Грегори:

J/(х)йх=/г[-1уо-(-у,Н-у2+ -.- +У 1 + уУ 1 -[Ау -1 -АЗо! - а

с оценкой ошибки

\f5\<lnhM\ (83)

где - верхний предел абсолютного значения /(х) в интервале а, д. Вернемся к предыдущему примеру:

0,025000000 0,138461538 0,021428571

- 0,100000000

0.018750000 0,470003745

с ошибкой, меньшей по абсолютному значению ggg-6 (0,1) 6!~ 0,0000016.

Если бы мы производили выкладки, исходя из формул Эйлера для p-i. то получили бы формулу Уэддля с поправочным членом:

/Sh /(х)йх = -[Уо+5у1 + У2 + 6уз--у4 + 5у5-(- ... -1-5у ,4-у 1 -

214640

.0,001

- (Ду4 -ДУо) =

-(Д2yз+Д2yo) = 53660

,.о д. .19-0,001

- (Д3у2 -ДЗуз) = О

0,002387743619291 Замечание. Нетрудно вычислить первообразную для функции y=arctgx:

arctg xdx = x arctg x - у In (1 -1- x2).

HO, несмотря на это, вычисление интеграла посредством нахождения первообразной

/ = 0,520 arctg 0,520 - 0,515 arctg 0,515 -у In 1,2704 + 1.265225

гораздо более громоздко и (если пользоваться таблицами арктангенсов и логарифмов с невысокой точностью) дает менее точные результаты, чем прямой подсчет по таблице разностей и формуле Грегори.

Формула Грегори использует разности, помещенные на нисходящей и восходящей диагоналях таблицы разностей, имеющих начало в а ш Ь. Пользуясь при вычислении, подобном предыдущему, выражениями для последовательных производных, данными формулами (50), и произведя подстановку в формуле Эйлера, получаем формулу интегрирования. Она образуется с помощью разностей, находящихся по обе стороны от горизонтальных строк таблицы разностей, имеющих начало в а и Ь:

f(x)dx = h l.yp + yj+ ... --y j- l.y

12 I

12 I 2 2

A% i4-AX-2 У-1 + У-2

191й Г ~ 60480 1

АУ -2+АХ з У-2+У-з 2 2

+ ... (87)

Пример. Требуется вычислить / = J cos х dx = 0,5. Берем таблицу

косинусов, приведенную в п. 10.3.3. Интервал 2°, выраженный в радианах.

0,520

Пример. Вычислить/= j arctgxdx. Таблица разностей /(х) = arctg

0,515

составленная в п. 10.3.3, дает

0,001 =0,000237787736358

0,001 у, =0,000476365524222

0,001 У2 =0,000477154932097

0,001 Уз =0,000477943696145

0,001 У4 =0,000478731816173

0,001 =0,000289759645996

+1

Г !!( -%)

du. (90)

*) Более подробно этот вопрос изложен в кн. В. И. Крылов а, Приближенное вычисление интегралов, Физматгиз, 1959.

равен 0,0349066. Формула трапеций дает

/=0,49994942.

Ограничимся вычислением первого поправочного члена из-аа неправильного поведения третьих разностей. Этот поправочный член равен 0,00005076, откуда

/ = 0,50000018.

Обращаем внимание на превосходное приближение, полученное несмотря на краткость таблицы.

10.5.8. Введение в методы Ньютона - Котеса, Чебышева, Гаусса*).

Требуется вычислить приближенное значение интеграла

/=ff(x)dx.

Положим

а-\-Ь , b - а

Имеем

+1 +1

, Ь - а С .(а+Ь , Ь~а \ , Ь - а Г / ч /-=-- --!--2и]йи = -- j cp(K)dK.

Мы пришли к приближенному вычислению интеграла

У= J <f{u)du. . (88)

Попробуем представить J в виде суммы

Яоср (Ко) + Яср (Ki) + ... + Я ф (к ). (89)

Неизвестные, входящие в формулу (89), определяются следующим критерием: значения выражений (88) и (89) должны совпадать, если ср(к) есть полином, степень которого не превосходит некоторого заданного числа.

Правило это допускает три способа применения. По методу Ньютона - Котеса следует заранее выбрать числа К;, разделяющие интервал -1, ~(-1 на равные части, и определять числа Hi (не зависящие от вида (р(м)) из требования точного равенства между (88) и (89) при замене (р(к) полиномом степени до n-j-1. По методу Чебышева следует взять равные между собой числа Hi и определить из того же требования числа и. Если же мы определяем одновременно Hi и таким образом, чтобы значения выражений (88) и (89) совпадали при замене (р(к) полиномом степени до 2ге+1,- это будет метод Гаусса, более точный, чем предыдущие.

10.5.9. Метод Ньютона - Котеса. Рассмотрим полином степени re-f-1, принимающий те же значения, что и ф(к) при значениях аргумента. Это, очевидно, интерполяционный полином Лагранжа. Интегрируя его, получаем