Точки К( делят на равные части интервал -1, -j-1. т. е. Ui - -1+ Положим

=.и + 1.

Тогда

==4ц£гг/ it-i+\){t-i-\) ... {t~n)dt.

(81)

Вернемся к переменной х. Считая b - a = nh, имеем ft

f f (X) dx = [HJ (a) + HJ (a + Л) + ... + Я / (e 4- вй)].

Коэффициент всегда определяется выражением (91). Можно составить таблицу чисел для нескольких первых значений п. Более подробное изучение способа Ньютона - Котеса позволяет вычи<;лить главную часть ошибки е , приведенную в последнем столбце таблицы. Из рассмотрения этого столбца видно, что выгоднее брать п четное. Прибавив е к результату вычисления /, мы получим лучшее приближенное значение.

7/45

19/144

41/420 751

8640 989

3/4 32/45 75/144

216/420

3 577 8 640

14 175

14 175

1/3 3/4 12/45 50/144

27/420

I 323

8 640 -928

32/4.3

50/144

272/420 2 989

8 640 10 496

14 17!

14 175

7/45 75/144

27/420

2 989 8 640 -4 540

14 175

19/144

216/420 1323

8 640 10 496

14175

41/420

3 577 8 64U -928

14 175

8 64U 5 888

14 175

14175

-ТО-Г-Т) -зтШПюо*- /Ч-Т-)

1 567 641 бОо V 2 ) 426 а24 691 200 \ 2 )

б2 782 73У712и00 , 2

Пример. Требуется вычислить /

= /

при ге=:6. Имеем

Отсюда /=0,470003656. Прибавив поправочный член eg = -0,000000023, получим /=0,470003633.

Замечание. Если разделить интервал а, b на некоторое количество интервалов длиной h и применить формулу Ньютона - Котеса для = 1 в каждом интервале, мы снова придем к формуле трапеций. Применив эту же формулу при ге = 2 в каждом интервале длиной 2/г, опять находим формулу Симпсона.

10.5.10. Метод Чебышева. В этом методе принимается, что все Я,-имеют общее значение Н. Такой выбор коэффициентов обосновывается следующим образом. Предположим, что ординаты ср(к) измерены с одинаковой точностью. Тогда обусловленная ошибками измерения ошибка в интеграле будет наименьшей, если коэффициенты равны между собой.

Приравняем выражения (88) и (89) при ср(к), равном полиному степени пЛ-\. Тогда

/ (йо +-

-(к4- 1)й +1

= 0

Приравняв коэффициенты в обеих частях равенства, получаем п~2 уравнения. Одно из них дает нам Н = fij\ Остается п-\-\ уравнение, чтобы определить п-\-\ число к. Эти уравнения суть +1 +1

2 ?-= / *rf = [l+(-Dl-y (A = I, 2, к-Ы). -

j=0 -I

Заметим, что следует ограничиться значениями п~\, 2, 3, 4, 5, 6, 8, так как только они приводят к вещественным к. Вычисление дает следующую таблицу (последний столбец отведен для основной части совершенной погрешности):

+0,57735026

+0,70710678 О

+ 0,79465448 +0,18759248

±0,83248748 + 0,37454144 О

+ 0,86624682 ±0,42251866 ±0,26663М0

±0,88386170 ±0,52965678 ±0,32391182 О

+0,91158930 +0,60101866 +0,52876178 ±0,16790618 О

i 1

180 1 1

480 1 1

3780 1 1

7444 6

1 1

50400

1 1

(*-.)/-(4)

88552 8! I 2 j

822 180 10! \ 2 ]

Вернувшись снова к переменной х, получаем Xg = -~

) - а

Пример. Требуется вычислить j способом Чебышева. При ге = 6

таблица дает

= 0,96633156 = 0,87634510 = 0,83137513 = 0,76923077

Хъ Х(,

/ = 0,3-у-5,48337551

/= 0,470003615

£6= 0.000000011

0,470003626

10.5.1 L Метод Гаусса, При этом способе и к- определяются, как мы уже отметили, равенством формул (88) и (89) при условии, что ф (и) есть полином степени 2ге-(-1. Примем за такой полином произведение любого полинома степени ге на полином Лежандра степени ге + -1;

<р(к) = ф(к)Р +1(к). ..

Из элементарных свойств полинома Лежандра известно, что

/ ф ( )/ +, (к) rfK = 0. -1

Следовательно, выражение (89) для полинома (1)(k)P j(k) также равно нулю:

o4( o)/ +i( o) + i4( i) +i( i)+ +и Ф(и ) +,( )==о. Это верно для любого полинома (к) степени ге, следовательно.

+i( o) = 0, Р ,( ,) = 0.....Р ,( ) = 0.

Все Kj представляют собой корни полинома Лежандра степени п~\-\. Hi (не зависящие от вида (к)) всегда определяются выражением (90).