Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Узлы Ui И коэффициенты для различных значений п даны в следующей таблице: +0,577350269188 +0,774596669240 О +0,861136311594 ±0,339981043784 ±0,906179845938 ±0,538469310104 + 0,932469514202 +0,661209386466 ±0,238619186082 +0,949107912342 + 0,741531185598 ±0,405845151376 О +0,960289856496 +0,796666477412 ±0,525532409916 + 0,183434642494 ±0,968160239506 + 0,836031107326 +0,613371432700 +0,324253423402 О 0,347854845136 0,652145154862 0,236926885056 0,478628670498 0,171324492378 0,360761573048 0,467913934572 0,129484966168 0,279705391488 0,381830050504 0,417959183672 0,101228536290 0,222381034452 0,313706645876 0,362683783378 0,081274388361 0,180648160694 0,260610696402 0,312347077040 0,330239355001 11/. ч5 av I + * \ 180 4Г(*- > 2800 бП [ 2 ) 1 1 44100 1 1 698 544 10 11099 088 12 1 .176 679 360 14 2 815 827 300 16 17 XVI 44 914183 600 18 1 a9 XVUl I-, u fi+ b I b - a Вернувшись к переменной x, получаем х = ---j- -g- к, / = (X) dx = [HJ (хо) + Я1/ (X,)+... + Я / (х )]. 1,6 Пример. Требуется вычислить / - способом Гаусса для п - Ъ. Из таблицы получаем Хо= 1,04165910, Яо = Яз = 0,34785484. Xj= 1,19800569, Х2=- 1,40199431, 1 = 2 = 0,65214515; Хз= 1,55834089, 10.EJ ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ . 735 0.33394307 = 0,54435898 : 0,46515535 = 0,22322127 Хг I 1,56667867 /= 0,470003601 е, = 0,000000022 0,470О03623 Точность вычисления близка к точности, полученной при использовании формул Ньютона - Котеса и Чебышева для вдвое большего числа интервалов. 10.5.12. Применение интерполяционных полиномов Ньютона. Требуется вычислить /= / f{x)dx. Положим b - a~nh, и= . <р(и) = /(с-Ь/гк). Имеем . I ~h J<р(к)du. . Если подставить вместо ср(к) интерполяционный полином Ньютона по нисходящим разностям (формула (23)), проходящий через п~\-1 точку а, f {а)% a-\~h. f{a~-\-hy, a~\-nh, f {a~\-nh), то, возвращаясь к переменной х. мы получим / = А [ге/ {а) + ~nAf (а) + - ) 1- Д2/ (а) + + [4-геЗ + ге2) i дз(,) (I Ш1 2 Ч--4---3--1-12ге21~Д5/(а)-Ь + (т- + ] <2> Действуя точно так же, но пользуясь полиномом Ньютона по восходящим разностям (формула (25)), получаем /= h ге/(6) + Д/(6-/г) + ( + )Д2/(й-2Л) + + + гез + 2) Дз/ (й - ЗЛ) + + + + Зге) Д V ф - 4Л)+ + ( + 2ге5+1 + + 12ге2)Д5/(й-5Л) + + (-+-% + 9ге-Ь-?5 + + 60ге2].Д /(й-6/г)+ ...]. (93) Замечание. Если в формуле (92) считать п=1 и после применения этой формулы к каждому элементарному интервалу а, a~\-h\ a-\-h. a-x-2h; а-\-{р-l)h, a-ph произвести сложение, то a+ph f /(х)йх = й[1/(а)-ь/(a-l-йч- ... +:Lf{a-+ph) Мы снова приходим к формуле трапеций. Действуя точно так же при четном числе /7 и = 2 с каждым из элементарных интервалов а, а + 2й; a~\-2h, й + 4/г; ... длины 2/г, получаем коэффициент при Д3/(й), равный нулю. Погрешность здесь порядка Af {а). Получаем f /(x)rfx=[/( )-j-4/(a--/г)-(-2/(a--2/г)4-4/(й4-3/г- ... ... +2/(а + (2/7 -2)/г)+4/(а + (2/7 -1)/г)-1-/(а + 2/7/г)]. Это формула Симпсона. Точно так же при р, делящемся на 6, возьмем я. = 6 и применим формулу для каждого из интервалов а, a-\-6hx й + б/г, a-f- 12/г; ... длины 6h. причем коэффициент при величине Д/(й) равен нулю. Для первого интервала получаем а+6/1 f f{x)dxh[f(a) + f(a-Jrh)rbf(a + 2h) + + / ( + 3/г) + / ( + 4/г) +/ ( + 5/г) + щ / ( + 6Л) Прибавим к этому выражению пренебрежимо малую величину -А. дб/ (й) = [/ (й) 6/ (й + /г) + 15/ (й + 2/г) - 20/ (а -4- 3/г) + -f 15/(й-I-4/г) - 6/(й + 5/г) + / (й + 6/г)]. Поступив таким же образом для каждого из интервалов и сложив результаты, мы получим с погрешностью порядка 0,007/гД/ (й) a+6ph f f (X) dx = [/ (й) + 5/ (й + /г) ч- / (й + 2/г) + 6/ (й 4- Щ + + /(й+4/г)+5/(й + 5/г) + 2/(й+6/г)+5/(й + 7/г)-+-/(й4-8й)+ ...]. Это формула Уэддля. Вследствие своей простоты она является одной из лучших формул интегрирования.
|