}Гх{1+х)(1-х)

Разложим его на три интеграла: .

Xi Х2

-Г l. С

./ Yx{\+x){\~x) J Yx{l-{-x){\-xy

где 0<Xi<X2<l. Вычисление интеграла /g не представляет затруднений Для вычисления /j производим замену переменной х =

Г 2dy

Возьмем a;j=:0,36, откуда у, = jAxj = 0,6. Способ Уэддля при /г ==0,1 дает /i= 1,2165.

Для вычисления /3 производим замену переменной 1 - х =

I = f 2rfy

Возьмем л-2 = 0,64, откуда у2=]Л1-2 = 0,6. Тот же способ при сохранении шага /г = 0,1 дает /3= 0,9416.

Способ трапеций, примененный к вычислению /3 при 7 интервалах, равных 0,04, дает /2 = 0,4642. Отсюда / = 2,6223. Точное значение равно 2,622056...

б) Приведем очень простой пример для второго случая, когда интеграл легко вычислить и непосредственно. Требуется найти

1

/ = JYl-xdx.

Положим 1-х = у2. Тогда 1 = 2 j у ]/2 - у2 dy.

Способ Симпсона при 10 интервалах, равных 0,1, дает /=0,78537.

) Предполагается, конечно, что интеграл сохраняет смысл.

!0.5.!3. Исключительные случаи. Изложенные способы интегрирования функций, заданных аналитически, не дают хороших результатов в следующих случаях:

а) подынтегральная функция обращается в бесконечность в промежутке интегрирования i);

б) производная подынтегральной функции бесконечна в промежутке интегрирования;

в) один из пределов интегрирования бесконечен i).

В этих случаях приходится прибегать к замене переменной под знаком интеграла.

а) Требуется, например, вычислить интеграл

Имеем

1 оо 1

I- f I с dx Г dx г dy г

j \x-J \-\-X-J 1-]-у2~../ 1

б г б б 6

Способ Симпсона при 10 интервалах, равных 0,1. дает/= 1.57079. Точный результат есть -= 1.570769...

10.6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

10.6.1. Введение. Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка р. Решенное относительно у() оно записывается в виде

Если положить

иначе говоря.

TO p-- 1 уравнений (95) вместе с

(у, и, V.....z, t)

образуют систему из p дифференциальных уравнений первого порядка.

Таким образом, численные методы решения системы из р дифференциальных уравнений первого порядка

% = g{y и, V.....Z, t).

dz dt

- f {у, и, V.....z, t)

включают в себя методы численного решения уравнения (94) как частный случай.

Настоящий параграф делится на две части. Первая часть касается численного решения одного дифференциального уравнения первого порядка). Вто-

) См. в пп. 4.1.43 и 4.1.44 матричный способ решения системы дифференциальных уравнений первого порядка и решение дифференциального уравнения п-го порядка.

Точное значение равно- = 0,78539...

в) Когда один из пределов бесконечен, самая естественная замена переменной - это х = -. Такая замена плоха, если второй предел равен нулю.

Тогда можно произвести более сложную замену переменной х = е-у. Лучше, однако, расчленить интегрирование на две части, как это показано в следующем примере (в котором интеграл также вычисляется непосредственно). Требуется найти

= /(х, у). (96)

Решить его численно - это значит найти возможно точные значения у у.....

принимаемые для значений Xj, х, независимой переменной функцией у,

которая является решением уравнения (96), принимающим значение у

при X = Xq.

Существуют многочисленные способы для успешного проведения этой операции. Мы приведем два из них из числа наиболее простых и удобных. В одном способе используется ряд Тейлора, и применение его ограничивается случаем, когда частные производные /(х, у) вычисляются легко. Второй, абсолютно общий способ - способ Адамса - требует меньшего объема вычислений, чем другие общие классические способы, как, например, способ Рунге - Кутта и его варианты. Мы дадим также изложение способа Пикара, или способа итерации, так как применение его часто бывает удобно, а теоретическое значение велико.

10.6.3. Решение с помощью ряда Тейлора. Предположим, что значения переменной х возрастают в арифметической прогрессии с разностью h:

Xq. Xi = Xo+/Z.....X ===XQ-\-kh.

Разложение в ряд Тейлора искомой функции у дает значение y+i для значения х, независимой переменной как функции значения у и ее последовательных производных в точке Xj

Но дифференциальное уравнение, которое требуется решить, дает Отсюда последовательным дифференцированием получаем

.йх)а + *(йу)а

Формулу (97) применяют для k = 0, 1, 2,

Если остановить разложение на члене п = р, то это сводится к замене решения у между абсциссами х и x j полиномом, имеющим в точке х у соприкосновение р-го порядка с решением, проходящим через эту точку!).

Пример. Требуется вычислить для абсцисс 0,1; 0,2; 0,3; 0.4 решение дифференциального уравнения

у = (х + у)2. подчиняющегося начальным условиям Хо==Уо = 0.

) Это значит, что указанный полином и решение дифференциального уравнения (принимающее при х = х значение у) совпадают при х = х вместе с производными до порядка р.

рая часть обобщает полученные выводы на случай системы р дифференциальных уравнений первого порядка, включающий в себя, как мы только что видели, случай численного рещения дифференциального уравнения р-то порядка, а также случай системы из 5 уравнений порядка г (sr = р).

10.6.2. Приближенное интегрирование дифференциального уравнения первого порядка. Дано дифференциальное уравнение