Так как интеграл вычисляется точно, то можно будет проверить расчеты. Действительно, если положить х-\-у = z, то

dx ~ dx и предложенное дифференциальное уравнение принимает вид

Отсюда

Следовательно, вычисляемый интеграл равен

y = tgx - x.

Установив это, вычислим у , у , ... последовательным дифференцированием рассматриваемого уравнения. Тогда

у =(х + у).

у =2(х + у)(1+у). - .

у- .2(1+у02+2(х+у)У. yiv 6у (1 + уО + 2 (x + у) у , yv 8y 4l4-/)4-6(yT + 2(x+y)yiv. yvi 1 oyiv (1 У) j 20у у + 2 (а; -f- у) yV, yvn = 12yV (1 - у) + 20 (/У + 30y yiv - 2 (х + у) у

Вначале-у = у = у = О, у =2, yiv = 0, yV==16, yVi = 0, yVii = 272. При Л = 0,1 восьмой член разложения в ряд Тейлора равен 10 -272/7! Он порядка 5 10 ®. В разложении мы пренебрегаем этим членом.

По формуле (97) вычисляется последовательно y+i, а по только что полученным формулам - У+х У+у Результаты приведены в таблице:

10.6.4. Способ Адамса. Предположим, как и раньше, что значения независимой переменной х находятся в арифметической прогрессии с разностью /г, и пусть Уд - значение, принимаемое решением при х~х.

Интегрируем (96) от х до ху. Тогда

19087 60480

Д(/-б. y.-e) } (98)

Если в выражении (98) остановиться на k-Vi разности, пренебрегая (й-4-1)-й разностью, то это сводится к тому, что /(х, у) заменяется параболой /г-й степени, проходящей через k-{-\ точек: х, у; -Уг 1; ... ... ; Xi , Уг й.

Способ Адамса состоит из двух этапов: прежде всего установление исходной базы, которая состоит из k значений у у, , Уц, соответствующих xj, xg, ..., х и определенных возможно точнее (уд известно). Далее экстраполяция, которая заключается в том, чтобы применять формулу (98). ограниченную /г-й разностью, последовательно для i = k, что дает y+i, для i = k-{-l, что дает y+g. Для простоты мы покажем сейчас подробно применение этого способа при k~4. Это очень распространенная степень приближения.

а) Установление исходной базы. Речь идет об определении у yg, У3, У4. Очень удобно пользоваться ранее изложенным решением с помощью ряда Тейлора, но можно также применять способ, при котором функция /(х, у) заменена полиномом Ньютона по нисходящим разностям:

/(x, у)=/(хо. Уо)+ Д/(хо. Уо)+ ( -1)А2/(хо. Уо) +

+ 1- ( 1) ( - 2) Дз/(хо, Уо) + ± ( - 1) ( 2) ( -3) Д(0. Уо)+

Интегрируя уравнение (96), в котором /(х, у) заменена предыдущим полиномом, ограниченным четвертой разностью, получаем

У1 == Уо + г/ (0. Уо) + Y г А/ (Хо. Уо) ~~h Д2/ (Хо, Уо) +

1 1Q

+ -/гДЗ/(хо, Уо) -7AAV(o. Уо)-

У2 = Уо + 2/г/(хо, Уо)4-2/гД/(хо, Уо) +1/г Д/(Xq. Уо) + 0-/гД/(о. Уо)-Уз = Уо + 3/г/(о. Уо) + -/гА/(хо, Уо)+/гА2/(Xq, 3,),

+1 /г ДЗ/ (хо. Уо) - 4 й AV (хо. Уо). 20

У4 = Уо + (ло- Уо) + 8й Д/ (хо. Уо) -f -3 - Й Д2/ (хо. Уо) +

+1 л ДЗ/ (хо. Уо) + 1г AY (хо, Уо).

Заменяем f{x, у) интерполяционным полиномом Ньютона по восходящим разностям:

/(X, y)=f{xi, 3г) + А/(г-1. ii-i) + ( +1) У1-2)+ -

и = Xi = Xi i-{-h = Xi 2-\-2h- ...

Получаем

yi+\yi + h\f{Xi. Уг)-ЬуД/(Хг 1. Уг-1)+Д7(л:г 2. У1-2) +

<У2) = Уо + 2/г/ (хо. Уо) + 2/г [Д/ (хо. Уо)] +1 /г [AV (Xq.- Уо)] -f 0.

<Уз) = Уо + Зй/ (хо. Уо) + Y /г [А/ (хо, Уо)] +

+ /г[Д2/(хо. Уо)] ---/г[А=/(хо, Уо)]

(y4)=-yo-f-W(xo. Уо) + 8/г1Д/(хо. Уо)] +

+ й [Д2/ (хо. Уо)] +1 /г [Дз/ (хо. Уо)]

откуда находятся

/[xi. (yi)v], /[Х2, (y2)iv], /[хз, (Уз)1Л, f[x {y,rb

[А/(хо. Уо)]. [А2/(Хо. Уо)]. [А=/(хо. yo)]>v. 1Д(хо. Уо)];

Далее мы обозначим первые, вторые, третьи, четвертые и пятые приближения величины К через

(/С). (/С) . {К) , (КГ, (/C)V.

Вычисление производится последовательными приближениями: 1)

что позволяет вычислить

f{xi,(yd] и [Д/(хо. Уо)];

Ш = Уо + 2/г/ (хо. Уо) -Ь 2/г [Д/ (Хо. Уо)].

откуда находятся

/[x. (Ух) ], /[Х2(У2) ]. [Д/(хо. Уо)Г. [А2/(хо. Уо)Г:

>

(yi) = Уо + /г/ (хо. Уо) + Y (о- о) - [AV (0. Уо)] . (У2) = Уо + 2/г/(Хо. Уо)4-2/г[Д/(хо, Уо)] + й [Д/(Xq. Уо)] .

(Уз) = Уо + 3 (0. Уо) +4/ [А/(0. Уо)] [Д/ (хо. Уо)] .

откуда вычисляются

/[xj. (yj) ]. /[xs. (Уз) ]. /[хз, (Уз)П. [А/(хо, Уо)] . [А2/(хо. Уо)] . [АЗ/(хо, Уо)] ;

<У1) = Уо + /г/(о. Уо)4- 1/(0. Уо)] --/г[А2/(хо, Уо)] +

--й[ДЗ/(о. Уо)] .