Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу У/ = У/-1+ / /(X. ydx. где функция /(х, у) выражена через интерполяционный полином Ньютона по восходящим разностям. Интегрирование дает для 1~Ъ (Уб) = У4 Ч- /г { / [Х5, (Уз)] - \ [Д/ (Х4, У4)] } - [ДV (Xg. Уд)] - - [ДЗ/ (Х2. Уз)] - i [Д4/ (Xj, У1)] - -Jq- [Д5/ (Хо, Уо)]. (100) При помощи этого улучшенного значения вычисляют новую таблицу разностей и т. д. до тех пор, пока не получатся два равных последовательных приближения. Пример. Требуется численно решить дифференциальное уравнение при начальных условиях Хо=Уо = 2 с шагом й = 0,05. 5) {УгУ + СО Уо) + Y 1А/ Со. Уо) - Л 12/ (Хо. Уо)Г + 1 1Q + /г [ДЗ/ (Хо. yo)]v - /г [Д/ (Хо. Уо)]. (У2Г = Уо + 2hf (Хо. Уо) + 2й [Д/ (Xq. Уо)]>v +1 /г [Д/ (хо. Уо)]> + (Уз)-Уо4-3/г/(Хо. Уо)4--й[Д/(Хо. Уо)Г + т(Хо- Уо)Р + +1 /г [ДЗ/ (Хо. yo)]v - А й [Д4/ (хо. yo)]iv. (У4)=Уо+4/г/(хо..уо) + 8/г[Д/(Хо. Уо)Р +-f [Д/(Xq. Уо)] + +1Л [ДЗ/ (Хо. yo)]v + А [Д4/ (Хо. yo)]v. Можно улучшить значения у. вычислив /[(х, (у)]. затем разности и применяя предыдущие формулы по второму разу и т. д. до тех пор, пока результаты не станут повторяться. б) Экстраполяция. Мы получим приближенное значение уд, применяя формулу (98). ограниченную членом с Д для /=4; (У5)=У4+/г/(Х4. У4) + Д/(Хз. Уз) + -Д/(Х2. У2)4- + -Д¥(х1. Уг) + -Д(хо. Уо)} . (99) Значения Д/д. tf, ДЗ/i, До даны восходящими разностями таблицы для / Нужно уточнить полученное значение yg. Для этого с помощью / [Х5, (уд)] вычисляют таблицу разностей. Пусть [Д/(Х4, У4)], [Д/(Хз, уд)]. ... - улучшенные разности этой таблицы. Имеем Имеем: 1) (3,1) = 2 +0,05 (1 - 1) = 2. fix (yi)] = l- =0,0244,
2) (ууУ = 2 + 0,05 - О + 0,05 0,0244 = 2,00061, (3,2) = 2 +0,10 0 + 2 0,05 0,0244 = 2,00244, /К.(У0 ] = 1 . /[Х2, (У2) 1=1 2,05 2,00244 2,10 = 0.0241. = 0,0465,
3) (уГ-- : 2 + о + -10,05 0,0241 + 0,05 0,0017 = 2,0006095. = 2 + 0 + 2 0.05 0,0241 -0,05 0,0017 = 2,0023817. = 2 + 0 + 1-0.05 0,0241 ---0,05 0,0017 = 2,0052312, / [х Ьг) \ = 1 - = 0.02409293, / 1x2. Ш ] = 1 - = 0,04648491, ./[хз. (Уз) ]--1 2,0052312 2,15 = 0,06733433,
4) (yj)iv = 2.0006099, (y2)iv = 2,0023809, (Уз)1У=. 2.0052343. (y4)iv = 2,0091046, /[Хз. (Уз)] = 2,0006099 2,05 2,0023809 /[4. (41=1 2,10 2,0052343 2,15 2,0091046 2,20 = 0,02409273, = 0,04648529, = 0,06733288, = 0,08677064,
5) (yi) = 2,00060975, (3;2)V =.2,00238095, (3;з)У = 2,00523256, (y)v = 2,00909080. Эти значения можно считать окончательными, только если последовательные улучшения дают тот же результат. Поэтому вычислим новую таблицу разностей функции f{x, у): flxv (yi)V] = 0,02409280. /[Xg. (2)] = 0,04648526, /[Х3. (3зЛ = 0,06733369, f[Xi, (y4)V] = 0,08677691,
|