Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 [ 243 ] 244 245 246 247 248 249 250 251

ЧТО дает улучшенные значения

(yi)Vi = 2.00060975. (y2)vi = 2,00238095, (Уз)У1 = 2,00523255, (У4)У1=.= 2,00909091.

Новое вычисление таблицы разностей функции /(х, у) приводит к приближению, в точности повторяющему предыдущие значения, которые могут быть, следовательно, приняты за окончательную исходную базу. Переходим к экстраполяции. Из формулы (99) имеем

(У5) = 2,01388846,

2,01388846 2,25

= 0,10493846.

Отсюда получаем -новую таблицу разностей, ограниченную пятой разностью. Так как нам нужны лишь восходящие разности, то приведена только нижняя часть таблицы:

2,20 2,25

0,08677691 0,10493846

0,01941322 0,01816155

-0,00140521 -0,00128167

0,00013882 0,00012354

-0,00001749 -0,00001528

0,00000221

Формула (100) дает в качестве первого улучшения уд

(У5) = 2,01388889.

Новое вычисление таблицы разностей, основанное на этом значении у-, в точности повторяет тот же результат. Значит, можно перейти теперь к вычислению у и т. д.

Заметив, что данное дифференциальное уравнение является линейным, мы можем точно вычислить решение, проходящее через точку х - у = 2. Данное уравнение может быть записано в виде

(ху) = х.

юткуда получаем искомое частное решение:

X , 2 = -F + -r-

Точное вычисление у для различных значений х показывает, что апроксимации у верны до восьмого десятичного знака.

Замечание. В большинстве случаев не требуется вычислять такие далекие приближения, как в предыдущем примере. Либо значение h бывает задано, и тогда можно позволить себе применять формулу апроксимации лишь при значении k, меньшем чем 4. При этом формулы будут соответствующим образом урезаны; этапы установления исходной базы сократятся, так же как и все вычисления, касающиеся разностей менее высокого порядка. Либо h



не задается и можно выбрать его достаточно большим, чтобы сократить сумму вычислений, нужных для заполнения полного промежутка, в котором желательно знать у с заданным приближением. Можно также соединить оба способа действий удачным выбором Ник. Здесь трудно предписать твердые правила. Нужно самому заметить по мере вычислений момент, когда следует изменить значение h либо путем удвоения, либо путем уменьшения вдвое, таким образом, чтобы получить при наименьшем количестве вычислений и с нужной точностью повторение последовательных приближений у.

10.6.5. Сокраш,енный вариант. Если можно довольствоваться исходной базой, состоящей из значений уд (точно известного), у, Уд. Уз, то бывает удобно пользоваться следующим способом.

Пренебрегая четвертой разностью, можно установить исключительно простую формулу. Интегрируем (96) от до

У/+4 -У/==/ /(х. y)dx.

Заменяем /(х, у) интерполяционным полиномом Ньютона по нисходящим разностям, ограниченным третьей разностью. После интегрирования получаем

X У+* - У = 12Л + 24 + 2 fi + S fi- (1

Заменив Д, Д, Д Их выражениями, находим

У.-+4 -Уё = - (2Л+1 -/+2 + 2/, з). (102)

Первый OT6poujeHHbifl член равен -gfiAf.

Как только у+4 вычислено, нетрудно вычислить fi и снова получить значение у с помощью следующей формулы, выведенной из формулы Симпсона:

Уг+4 = У/+-2 + х+4+4г+з + .+2)- (0)

Мы пренебрегаем при этом членом порядка -hAf.

Необходимо, очевидно, прежде чем начать вычисление шаг за шагом, иметь исходную базу, образованную значениями Уд (точно известными), у, Уч Уз (вычисленными). Ее легко найти с помощью ряда Тейлора.

Разность значений Уг+4. полученных из формул (102) и (103), равна примерно

f/гД-

Она приблизительно в 30 раз больше, чем поправка, которую требуется внести в результат, полученный в формуле (103). Таким образом, если одна тридцатая этой разности меньше искомой точности в вычислениях, мы можем пренебречь погрешностью формулы (103).

Если эта разность очень велика, то выгодно уменьшить вдвое интервал h. Если же она пренебрежимо мала, то мы удвоим интервал, что значительно сократит вычисления.

Пример. Требуется для х=0,4 получить численное решение уравнения

у=у--х2



Отсюда

Формула Симпсона дает

У4 = У2 + -(/4 + 4/з + /2).

У4= 1,5154.

А ==У4 + ? ==1-6754,

откуда

У4= 1,5154.

Уточнять значение у больше не нужно.

Вычисление у на следующем интервале следует производить при й = 0,2.

10.6.6. Приближенное интегрирование системы дифференциальных уравнений первого порядка. Ограничимся изложением способа Адамса для системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка. Способ этот может быть легко распространен на любое число урэвнений. Дана система

= Пх, у. Z). ах = Six, у. Z),

dx dz

и пусть Уд. Zq - значения, принимаемые двумя неизвестными функциями для одного и того же значения Xq независимой переменной (начальные условия).

Так же как и при решении дифференциального уравнения первого порядка, отыскание значений у у, у, ...; z, Zi..... принимаемых функциями у и Z для значений независимой переменной х, составляющих арифметическую прогрессию с разностью h, следует разделить на два этапа: установление исходной базы и экстраполяция.

Установить исходную базу можно, либо пользуясь способом Тейлора, либо способом, подобным только что изложенному, при помощи интерполяционного полинома Ньютона по нисходящим разностям Ньютона.

10.6.7. Использование ряда Тейлора. Этот способ, который излагается здесь для установления исходной базы, является также способом полного решения системы дифференциальных уравнений. Чтобы убедиться в этом, достаточно продолжить описанное ниже вычисление таким образом, чтобы покрыть весь рассматриваемый интервал.

Пусть Уо и Zq - значения функций у и z для значения x=Xq независимой переменной. Значения yj и для Xi~XQ-\-h даны выражениями

У1 = Уо + ЙУо + У;+ - +Уо +

при начальных условиях Уо = 1. = 1. Результат требуется найти с точностью до пятой значащей цифры.

Исходную базу легко получаем с помощью ряда Тейлора:

У1= 1.1055. у2= 1,2242. Уз= 1,3595. Для /г = 0,1 имеем

34==3о + -т-(2/1-/2 + 2/з). Д=У1 + х2=1.1155, . . .

Д - Уз+ х2= 1,2642. /з = Уз+ х2= 1,4495.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 [ 243 ] 244 245 246 247 248 249 250 251