y, = f(-o Уо- о)-

;-=К. Уо- о)

v -( vf -) Л-(-\

10.6.8. Применение интерполяционного полинома Ньютона с нисходящими разностями. Находим величины

(У1)--Уо-Ь/(Хо. Уо. о). откуда мы можем вычислить

/[Xj. (УхУ. (;i)a g[Xi. (Уд, (i)].

откуда

А/(Хо. Уо. Zq). Ag(xq, Уо. Zq),

iyir = yo+hfQ+-h(AfQ).

XzJ=ZQ + hgQ + ~h{AgQ),

и т. д.

с помощью формул, совершенно тождественных тем, что применяются в случае решения одного уравнения, мы получаем шаг за шагом таблицу

/ (Хо. Уо. Zq)

Д/(Хо, Уо, Zo) /(Xi. у i, Zd Д2/о

A/(Xi. У1, Zi) Дз/о

/(Xg. У2. 2) ДО

Д/(Х2. У2. 2) A/l

/(Хз. Уз- з) А2

Д/(Хз, Уз. ггз)

/(Х4, У4. z)

и такую же таблицу для g.

Как только сделаны улучшения и получены окончательные значения

У1. Уг- Уа У4. z, z, z, z,

переходим к экстраполяции, производимой по формулам:

(У5Г=У4+/г[/(Х4, У4, ;г4) + 1д/(Хз, У3, 3) + 4 (2- Уг- 2)+

-{-Jf(Xl,Уl,Zl) + fixQ,yQ,ZQ)],

(25) = Z4+/j[g-(X4. У4, 24)+Д(Хз, Уз, 3) + ~ Д2 (Xg, yg, 3) +

3 251

-f -g A* (Xj. У1, + ДЯ (Хо, Уо. Zo) .

У2() = Уо+ (. yi(x))dx

Хо X

У (х) = Уо+ (х, y i(x))dx.

Все функции уу (х), ..., у (х) принимают значение Уд при х = Xq и могут рассматриваться как все более точные приближения к у(х):

lim у (х) = у(х).

Сходимость получается в предположении, что f(x, у) и непре-

рывны вблизи точки Xq, Уц. Рассмотренный способ, легкий ь изложении.

Так же, как и ранее, необходимо улучшить эти значения по формулам: (Уб) = У4 + { / [5. (Уб). (25)] - Y1А/ (Х4. у4. 4)1 - .

-[Д7(Хз. Уз. Z,)Y~miX2, У2. 2)1-

19 Ч 1

- 72 (1- i)] - -160 f/ (0. Уо. 2о)] I.

(;г5) = 4 + /г { [Х5, (уз), (z)] -1 [Д (х, у, ;4)] -

- [Д (3. Уз. 2з)] - [ДЗё (Х2, У2, ,2)] -

19 3 >

- 72 [Дё- (1. У1. 1)Г - -[бб (о-

10.6.9. Способ Пикара. Дано дифференциальное уравнение, решенное dy

относительно .

с начальным условием, у = у для х = Xq. Проинтегрировав от Хд до х, получаем

fdy=ff(x.y)dx

У=Уо+ (х. y)dx. (104)

где у - неизвестная функция от х, находящаяся также под знаком интеграла. Будем решать это интегральное уравнение последовательными приближениями.

За первое приближенное значение неизвестной функции примем

У1(х) = Уо+/ f(x, yo)dx.

Подставив это значение у 1в правую часть интегрального уравнения (104), получим

затем

= l+/(l+x)3.x= + i

-1-jgX-t-gX-)-2oX -f- 64 -

Заметим, что первые 4 члена совпадают с началом разложения в ряд Тейлора точного решения.

оказывается часто трудным для применения. Последовательные интегрирования могут быть очень сложными, а главное, сходимость в большинстве случаев очень медленная, что крайне неудобно при численных расчетах. Можно значительно улучшить этот способ, усовершенствовав исходную базу, иначе говоря, первое приближение. Действительно, принять Уо за первое-приближение- то же самое, что принять - = 0, а это является очень

грубым приближением. Чтобы иметь более точное первое приближение, разложим /(х, у) (как функцию аргумента у) в ряд Тейлора вблизи у:

fix, у) = /(х, Уо) + (3 -3о)- + /?(х. У).

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение, пренебрегая остатком R (х, у). Тогда

У df , ч df -

Это - линейное уравнение, рассмотренное в п. 6.1.5. В нем = Ф(х) = /(х. Уо) -Уо-.

Если ввести решение, принимающее значение Уо для х = хд, в правую часть уравнения (104), получаем приближение, часто оказывающееся достаточным для большинства случаев.

Пример. Требуется решить дифференциальное уравнение

dx

при начальных условиях. хд = О, Уо==1- В этом уравнении переменные разделяются, что позволяет найти точное решение у=(1-2х)~\ Оно будет служить для проверки.

Применяем способ Пикара. Первое приближение равно Уо = 1- Второе равно

yi=l + fdx = l+x.