6. Асимптоты. Имеем <р(х, рх, р) = р-х(1 - р2)=:0. Иначе говоря, 1-р2. Если X стремится к бесконечности, то р стремится к ± 1. Подставляем у= ±x~{-q и р=±1 в х - у2 = р. Тогда

l=x--(±x~{-qf= ±2qx - q.

+ 2q-

Когда л: стремится к бесконечности, q стремится к 0. Следовательно, у = х и 3 = - X - асимптоты, общие для пучка интегральных кривых, так как у= ±1, у= ±х не удовлетворяют тождественно данному дифференциальному уравнению.

На рис. 10.14 пунктиром изображены изоклины, точечным пунктиром - место точек перегиба и сплошными линиями - несколько интегральных кривых.

Замечание. Если функция у не фигурирует в дифференциальном уравнении, то его можно записать в виде

При этом изоклины представляют собой параллели к оси Оу. Способ изоклин дает возможность графически осуществить квадратуру, т. е. начертить одну из кривых

У{х)= jf(x)dx.

где а-произвольная постоянная, каждому значению которой соответствует отдельная интегральная кривая. Эти кривые получаются одна из другой простым перемещением вдоль оси Оу.

10.7.2. Графическое решение дифференциальных уравнений второго порядка способом радиусов кривизны. Рассмотрим дифференциальное уравнение, решенное относительно у :

Делим обе части на (l + у) . Тогда получаем

у /(У у X) 1

1 1 fiy. у. X)

(1+yV (l + yY

Мы определили радиус кривизны интегральных кривых. Он равен

/? = Ф(у, у, х).

Отсюда вытекает следующий способ графи- Рис. 10.15.

ческого решения уравнений. Пусть при х = Хо

функция у и ее производная у принимают соответственно значения уц и Уо. Это означает, что из всего пучка интегральных кривых мы хотим начертить такую, которая проходит через точку Хо, Уо и имеет в этой точке крутизну уо. Пусть будет дана точка Ро(Хо. Уо) касательная Роо (рис- 10.15). Радиус кривизны интегральной кривой равен в этой точке Рр = ср(уо. Уо, Хо). Начертим этим радиусом дугу окружности, соприкасающейся с искомой кривой, и примем, что в промежутке Xq, Xi эта

дуга совпадает с интегральной кривой. На дуге возьмем точку Pj с абсциссой Ху. Ордината ее равна ур а крутизна касательной РуТу в этой точке

равна yl.

Рис. 10.16.

Радиусом, равным Ri = <p(yi, уь xi), начертим дугу окружности, проходящей через точку Ру и касательной к РуТу, и т. д. Мы последовательно вычерчиваем таким образом дуги окружностей, практически сливающиеся с искомой интегральной кривой, если последовательные интервалы (х, Xj), (Xj, Xj) достаточно малы.

Имеем

Пример. Попробуем начертить одну из интегральных кривых уравнения 3 -(1-3)/ + У = 0.

0-у)у-у

Начертим проходящую через точку х = 0, у=:0 кривую, имеющую В этой точке касательную, наклон которой к оси х равен 45°. т. е. уо= 1. Получаем кривую, изображенную на рис. 10.16.

10.8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

10.8.1. Плоские задачи. Мы ограничимся здесь уравнениями в частных производных второго порядка вида

ди ди dU dU

f[x. у, и.

= 0.

ву- е..- W-

Задача состоит в том, чтобы отыскать функцию, удовлетворяющую уравнению (105) и совпадающую на данном контуре с данной функцией U = <f{x, у). Искомую функцию мы определим ее значениями в узлах прямоугольной сетки. Предварительно мы рещим две простые задачи.

1. Рассматриваются четыре точки а, Ъ, с, й - середины сторон прямоугольника и точка /- центр прямоугольника (рис. 10.17). Попробуем найти приближенные формулы, дающие пер- I J

вые и вторые частные производные функции U h к

в точке / как функции значений U в точках а, Ь, с, d, i.

Разлагаем функцию U в ряд Тейлора вблизи точки i:

Ф-6-Ф

Рис. 10.17.

/=/, + (х-х,)Щ+(у-у,)(4) +

+ (Х-Х,)2

Н-(х -x)(y-

-2(У -Уг> dU

Рис. 10.18.

Пищем этот ряд, ограничиваясь членами второго порядка, в точках а, Ь, с, d. Нетрудно получить

(107)

= ж ( + - 2f/,), = iU, + и, - 2Ui).

2. Поставим ту же задачу, но при этом пусть точка i не будет больше в центре прямоугольника. Положение ее определяется отношениями , расстояний до сторон прямоугольника (рис. 10.18). Предыдущее разложение.