Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 [ 248 ] 249 250 251

(109)

(£>


Рис. 10.21.

Oct!

Рис. 10.22.

2. Точка I - не центр прямоугольника (рис. 10.22):

k\ I

2-k 2

(P- )t/£

[dz )

i ( + P)

P( + P)

\ dr j

i t(7 + B)

B(t + B)

ldU\

- (а + Р)

P( +P)

ldV\

\dr)

- .j(+S)

1 S(t + S)

t8

(ПО)

Разумеется, уравнения в частных производных должны быть приспособлены к системе цилиндрических координат. Например, уравнение Лапласа будет записано в виде

dU , dU , I dU

r dr

= 0.

-®-

Основное различие с плоской задачей заключается здесь в наличии прямой - оси вращения, играющей привилегированную роль. Значения U в двух точках, симметричных относительно этой оси, будут, очевидно, равны. Формулы, соответствующие частным производным в точках этой оси, будут выражены особыми формулами в силу этой симметрии и условия = 0.

ldU\ \ dr Io

равна нулю, но величина (2- ) конечна. Имеем

Рис. 10.23.

Пусть о будет точкой на оси вращения (рис. 10.23). Производная 1 dU\

dU dr

(dU\ , (dU\ , r (dU\ ,

Первый член справа равен нулю, откуда

1. Точка t - центр прямоугольника (рис. 10.21):



!/( ,)-/( 2)1 Пример. Требуется построить графическую шкалу функции

f{u) = lnu

Так как U = Ui, в силу симметрии, то

Вторая производная по 2г в точке на оси всегда выражается третьим равенством (НО). Например, для точки, находящейся от оси на расстоянии а/г, и ДЛЯ квадратной сетки уравнение Лапласа будет

,+ ,- 2 , + , -{-и,- 2t/, + {U, - и,) = О, а ДЛЯ точки на оси

6t/, = t/ +t/, + 4fy,.

10.9. НОМОГРАММЫ

10.9.1. Введение. Подробное изучение номографии должно вк.ггючать в себя знакомство с большим количеством типов номограмм. Выбор наилучшего варианта номограммы может быть сделан только специалистом. Здесь же мы задаемся ЛИШЬ целью дать возможность инженеру вычертить основные номограммы, полезные в его работе. Поэтому ограничим изложение наиболее употребительными номограммами. Мы займемся лишь номограммами с выравненными точками. Они просты и читаются легко и точно. Из них мы рассмотрим только номограммы с тремя параллельными прямыми шкалами, Л/-образными, lF-образными, с двумя параллельными прямолинейными шкалами и криволинейной шкалой, с прямолинейной и двумя криволинейными шкалами, с тремя криволинейными шкалами. Для изучения номограмм круговых, прямоугольных и с огибающей мы отсылаем читателя к специальным трудам. Так как номограммы с перекрещением могут почти всегда быть заменены номограммами с выравненными точками, более простыми по своему строению и более удобочитаемыми, нам показалось ненужным рассматривать их здесь.

10.9.2. Определения. Графическая шкала. Графическая шкала состоит из основания (прямая или кривая), на котором нанесены отметки, соответ-ствуюшие последовательности возрастающих чисел. Если функция / (и) непрерывна и строго возрастает (или убывает) в заданноминтервале; то можно эту функцию изобразить графической шкалой.

Модуль. Графические шкалы, которые мы ниже будем строить, должны вычерчиваться на бумаге обычного формата. Если требуется рассмотреть два крайних значения функции / ( ) для двух крайних значений переменной и, то следует выбрать на основании такую единицу длины, чтобы формат бумаги использовался для графической шкалы наилучшим образом Эта единица длины называется модулем графической шкалы.

Например, для прямолинейной шкалы, если нельзя по соображениям удобства превысить длину в / сантиметров и если и, и 2 - крайние значения полезного изменения переменной и, то самый выгодный модуль, т. е. дающий самое точное прочтение, будет

т = -



для интервала изменения от к=1 до м = 10 на листе бумаги, наибольший размер которого / = 25 см. Наиболее выгодный модуль будет

25 25 , .

InlO-lnl 2:3 --O-S <-

Из соображений простоты, которые не менее важны, чём наибольшая точность прочтения, следует взять m = 10 см.

Начало шкалы. Так называется точка, для которой f{u) = 0. Следовательно, если X есть расстояние от начала до точки на шкале с отметкой и, то

x = mf (и).

Начало шкалы может оказаться за ее пределами.

Важнейшие шкалы. Функция f (и) оказывается часто одной из следующих функций: аи-{-Ь (линейная шкала); logm (логарифмическая шкала,

очень часто с основанием 10); 10 ; м, и.....и (параболическая шкала);

11 1 2, и.....и ; sin и; cos и; tgu; sh и; ch и; thu;

Очень важно уметь быстро вычертить шкалу mf(u) с определенным модулем с помощью шкалы функции /, вычерченной раз навсегда. На рис. 10.24


mod 32

Рис. 10.24.

показан такой способ. В качестве примера здесь вычерчена шкала х = = 5,2 log и при помощи шкалы л: = 7,5 log и.

Чтобы вычертить проективную дробно-линейную шкалу х = т ~-

с помощью линейной шкалы у = \хи или, в более общем виде, чтобы вычер-

тить шкалу х = т ( , . с помощью шкалы у = (л/(й), следует опи-

раться на хорошо известные свойства проективности, указывающие, что обе шкалы X и у являются проекциями одна другой.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 [ 248 ] 249 250 251