Можно, впрочем, определить эти коэффициенты и не зная значений ш. Действительно, коэффициенты определяются как те числа, для которых интегралы

S->C!0

S->co

cos zx dx.

sinzx dx

отличны от нуля, когда т изменяется от нуля до бесконечности. Если рассматривать сумму

как равномерно сходящийся ряд периодических функций, то функция fix) будет называться почти периодической. Она может быть разложена в ряд, очень похожий на ряд Фурье.

Численный расчет коэффициентов ряда Фурье изложен в гл. X, посвященной численным и графическим методам (п. 10.3.6).

2.2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

2.2.1. Вещественная форма интеграла Фурье. Пусть на всей вещественной оси задана некоторая функция fit). Мы уже видели, что в промежутке [6, Ь~\-Т\ ее можно разложить в ряд Фурье. Если считать теперь, что t изменяется не от 6 до

6 Г, а пробегает всю вещественную ось от -сю до -Ь-сю. то функция, представленная рядом Фурье, уже не будет совпадать с fit) вне промежутка [6, б + Г]. График этой функции получится параллельным переносом (как направо, так и налево) на участки длиной Т, 2Т, ЗТ, ... графика fit) на основном промежутке.

Для целого ряда задач было бы полезно вывести из ряда Фурье разложение, могущее представить функцию / it), заданную от - сю до -f- оо. Оно называется разложением fit) в интеграл Фурье.

Возьмем функцию fit) и рассмотрим, как уже было сказано, ее значения в промежутке [6, д-{-Т], иначе говоря, рассмотрим часть изображающей ее кривой, заключенную между точками с абсциссами А = д и В - д-\~Т (рис. 2.11).

Переместим начало координат в среднюю точку С отрезка АВ. Для значений t, заключенных между А к В, т. е. для таких t, что т т

--2~ 2 функция fit) представляется разложением

1-----Г------*J

Рис. 2.11.

/()= 2 & cosnS+ 2J asinnQt,

ln~jr J / (т) cos дйт dT,

Рассмотрим, что произойдет с разложением, если Т устремить к.бесконечности. Для этого запишем разложение в следующем виде:

CD = S

Мы обозначили ий=2ш; при суммировании учтем, что 2 - разность между двумя последовательными значениями ш:

(u = (fj--l)Q и (u = nQ.

Можно, следовательно, рассматривать й как приращение Дш величины ш. Заменяя а , 6 и их выражениями, найдем

f(t)- 1 /(T)dT-j-- До) у /(т)[cosштcosш--sinmтsiпш]d I:. V

Иначе говоря.

г u)=2 Г

Т ~ 2

7- Г

2- +Т

Пусть Т стремится к бесконечности. ,.В этом случае Дсо превращается

со со

в diu. 3 в J . Будем считать, что интеграл от /(т) по бесконечному

u)=e о промежутку сходится. Тогда

lim

/ f{z)dx = 0.

где 2 = ~, а коэффициенты а , и даются формулами

а = У / (т) sin 2т dx.

и мы получим следующую формулу для функции f(fy.

са +CQ

/(0=~ У doi У /(t)cosco( -T)dT,

(19)

и -со

Это разложение в интеграл Фурье функции /(О*)-

Если раскрыть coso)( - т) и вывести из-под знака внутреннего интеграла члены, не зависящие от т, то можно написать

+СО i +00 +00

f(t)==i~ 1 do) cosiu У / (т) cos сот dT--sin co J /(T)siniuTdT .

0 ( -CO -00 J

Отсюда мы видим, что f(t) можно рассматривать как сумму бесконечного числа синусоидальных колебаний с амплитудой

-Л(ш)

\-со

и фазой

cos сот dz

2 , ч-со

sin сот dT

Ф(ш)= arctg -

sin (от d-c

COS (от d-z -

Формулу (19) можно теперь написать в следующем виде:

+ СО

f{t)=- I л (со) COS [cof - Ф (со)] dco.

2.2.2. Комплексная форма интеграла Фурье. Применим формулы (15) и (16) для ряда Фурье с комплексными членами к функции, изображенной на рис. 2.11. Имеем

Если обозначить, как это делалось в предыдущем пункте,

пИ = со, Дсо = й

и, кроме того.

с =20(со).

*) 14нтеграл по т с 6etK0He4HbiMH пределами возник в результате предельного перехода при Т-*-со. Его, следовательно, надо понимать в смысле главного значения (Valeur principiale, см. [1], стр. 532-533). Знак главного значения (v. р.) будем для

краткости опускать.