Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [ 30 ] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

кривая справа - относительные амплитуды-остается неизменной, ее внутренняя область полностью заполняется бесконечно сближенными линиями. Это спектр частот изолированного импульса. Его можно найти непосредственно из формулы (21):

\ h Г j h sin юе

2tz J я CO

Это особенно простой пример, так как в силу симметрии подынтегральной функции мнимая часть 1(ш) равна нулю. Все составляющие находятся в одинаковой фазе.

ШППШШШШШШ! О t


-Л fL

.ntlllllllTi

ггт-т>...

Л TL.

..itlllllllHl>,

Рис. 2.17.

На рис- 2.17 изображен импульс высотой й=1, шириной 2е=1 сек для следующих случаев: один импульс за каждые две, восемь, двадцать секунд и одиночный импульс.

Случай ударного импульса. Предположим, что Л бесконечно возрастает, а е стремится к нулю так, что произведение h 2е постоянно и равно конечному числу Р. В этом случае

W=2-i--йГ-



Очень короткий ударный импульс имеет спектр частот, не зависящий от частоты (рис. 2.18).


Рис. 2.19.

Рис. 2.18.

Рис. 2.20.

Пример. Функция /(#) равна нулю при / <0 и равна e~ при >0 (рис. 2.19). Имеем

+00 +СО

откуда

0(ш) =

1 1

1 Р->

2я Р + /о) ~ 271 р2.шг На рис. 2.20 воспроизведен спектр частот, т. е. кривые

Подставим 0(ш) в формулу (20). Тогда

/(0 = / ,=i(coso)f+ysin<oOdco.

. -ОО

+00 4-СО

1 / pcostof ,1 г

- СО

й) COS (й2--р2

(25)

Мнимая часть справа равна нулю. Интегралы, определяющие вещественную часть, очень легко подсчитать по способу, указанному в п. 1.3.23.

Первый интеграл равен -е при f <; О и при >0 (рис. 2.21).



Второй интеграл равен

ef при t<0

при >0 (рис. 2.22).

Сумма, следовательно, равна нулю при f < О и при > 0. Мы восстановили, таким образом, функцию f{t\ Спектр частот, который можно по-лучить, возведя моцуль 0(ш)

в квадрат, R2(a))4

будет

(см. рис. 2.23).

2.2.6. Единичная функция Хевисайда. Дана функция Г(), равная нулю при ? < О и единице при > 0. Это единичная функция Хевисайда или просто единичная функция. Нетрудно получить ее разложение в интеграл Фурье, или, точнее, разложение функции

Г {f) - Y среднее значение которой в промежутке от -оо до -\- эо равно нулю.

Разложение функции, рассмотренной в предыдущем примере (рис.-2.19), дается формулой (25). Если В стремится к нулю, то первый интеграл в формуле (25), представленный кривой на рис. 2.21, стремится к /г- Второй интеграл стремится к

Рис. 2.21.

Рис. 2.22.

-t-UL> CO

ы j ы a j

Sin <i>t

d(o.


Рис. 2.23.

и мы- приходим к формуле, указанной нами ранее (гл. 1, формула (15));

sin <i>t

du>.

2.2.7. Пары функций. Можно заметить некоторую взаимосвязанность формул (20) и (21). Уравнение (20) определяет f(t), если функция О (со) известна. Уравнение (21), наоборот, определяет G(co), если известна /(О-

Эту симметрию можно сделать еще более явной, если круговую частоту со

заменить частотой м =

Положим 27uG (27rv) = Ф (v). Имеем

fit)= j Ф()е/2 dv,

Ф(>)= J f{t)e-n-t dt.

(26)

(27)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [ 30 ] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251