Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу кривая справа - относительные амплитуды-остается неизменной, ее внутренняя область полностью заполняется бесконечно сближенными линиями. Это спектр частот изолированного импульса. Его можно найти непосредственно из формулы (21): \ h Г j h sin юе 2tz J я CO Это особенно простой пример, так как в силу симметрии подынтегральной функции мнимая часть 1(ш) равна нулю. Все составляющие находятся в одинаковой фазе. ШППШШШШШШ! О t -Л fL .ntlllllllTi ггт-т>... Л TL. ..itlllllllHl>, Рис. 2.17. На рис- 2.17 изображен импульс высотой й=1, шириной 2е=1 сек для следующих случаев: один импульс за каждые две, восемь, двадцать секунд и одиночный импульс. Случай ударного импульса. Предположим, что Л бесконечно возрастает, а е стремится к нулю так, что произведение h 2е постоянно и равно конечному числу Р. В этом случае W=2-i--йГ- Очень короткий ударный импульс имеет спектр частот, не зависящий от частоты (рис. 2.18).
Рис. 2.18. Рис. 2.20. Пример. Функция /(#) равна нулю при / <0 и равна e~ при >0 (рис. 2.19). Имеем +00 +СО откуда 0(ш) = 1 1 1 Р-> 2я Р + /о) ~ 271 р2.шг На рис. 2.20 воспроизведен спектр частот, т. е. кривые Подставим 0(ш) в формулу (20). Тогда /(0 = / ,=i(coso)f+ysin<oOdco. . -ОО +00 4-СО 1 / pcostof ,1 г - СО й) COS (й2--р2 (25) Мнимая часть справа равна нулю. Интегралы, определяющие вещественную часть, очень легко подсчитать по способу, указанному в п. 1.3.23. Первый интеграл равен -е при f <; О и при >0 (рис. 2.21). Второй интеграл равен ef при t<0 при >0 (рис. 2.22). Сумма, следовательно, равна нулю при f < О и при > 0. Мы восстановили, таким образом, функцию f{t\ Спектр частот, который можно по-лучить, возведя моцуль 0(ш) в квадрат, R2(a))4 будет (см. рис. 2.23). 2.2.6. Единичная функция Хевисайда. Дана функция Г(), равная нулю при ? < О и единице при > 0. Это единичная функция Хевисайда или просто единичная функция. Нетрудно получить ее разложение в интеграл Фурье, или, точнее, разложение функции Г {f) - Y среднее значение которой в промежутке от -оо до -\- эо равно нулю. Разложение функции, рассмотренной в предыдущем примере (рис.-2.19), дается формулой (25). Если В стремится к нулю, то первый интеграл в формуле (25), представленный кривой на рис. 2.21, стремится к /г- Второй интеграл стремится к
-t-UL> CO ы j ы a j Sin <i>t d(o. Рис. 2.23. и мы- приходим к формуле, указанной нами ранее (гл. 1, формула (15)); sin <i>t du>. 2.2.7. Пары функций. Можно заметить некоторую взаимосвязанность формул (20) и (21). Уравнение (20) определяет f(t), если функция О (со) известна. Уравнение (21), наоборот, определяет G(co), если известна /(О- Эту симметрию можно сделать еще более явной, если круговую частоту со заменить частотой м = Положим 27uG (27rv) = Ф (v). Имеем fit)= j Ф()е/2 dv, Ф(>)= J f{t)e-n-t dt. (26) (27)
|