Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Если заменить на -, то ,

, +00

f(-t)=j Ф (\) e-i-t dM,

+ СО

Ф()= j f(~t)e-tdt.

- со

Здесь функции /(-О и Ф() поменялись местами. Спектр функции Ф(ч ) стал спектром /(-t). Функции f(t) и Ф(t) принято называть парой; для них построены специальные таблицы. Существует полная симметрия между обеими переменными - временем и частотой. Формула (26) показывает, что функцию f(t) можно рассматривать как сумму синусоидальных составляющих времени. Точно так же формула (27) показывает, что функцию Ф() можно рассматривать как сумму синусоидальных составляющих частоты. Установление этого факта крайне важно и играет большую роль в современной теории информации.

2.2.8. Преобразование Фурье. Вместо симметричных формул (26) и (27) для определения преобразования Фурье предпочтительнее пользоваться

соотношениями (20) и (21), но при этом следует ввести множитель

В формулу взаимного преобразования.

Стандартная форма экспоненциальной трансформанты Фурье функции f(t) определяется соотношением

0(ш)= J f(t)e-}<dt. (28>

- СО

Обратное преобразование определяется по формуле

f(t) = ~ у G(j)e]tdiu. (29)

-со

Эти формулы не полностью симметричны. Экспоненциальная трансформанта Фурье для функции 0{t) равна 2iu/(-о).

Если функция fit) определена только при > О, если к тому же она, как и функции, рассматриваемые в гл. VIII (преобразование .Папласа), равна нулю при ? < О, то мы можем определить два других преобразования Фурье: преобразование

, . .

G,(co)=J f(t) cos iatdt. t>0, (30)

называется косинус-преобразованием Фурье для f(t); преобразование

СО

G2(co)==J fit)smu>tdt. t>0. (31)

называется синус-преобразованием Фурье для f(t).



) В частности. Tables of Integral Transforms, vol. I, Calif. Inst, of Technology, 1954.

Обратные преобразования будут

f(t) = - f Oj(a))cosaida). > О, (32;

f{t) = ~ f О2 (ш) sin 0) do), t>0. (33).

Имеются очень полные таблицы трансформант Фурье для основных функций 1).

Можно вывести формулы преобразований Фурье из таблиц пп. 8.3.29, 8.3.30, в которых приводятся формулы преобразований Лапласа. Для этого, однако, недостаточно заменить переменную р на уш, следует еще убедиться, что выполнены некоторые дополнительные условия. Действительно, замена переменной приводит в соответствие мнимую и вещественную оси - пути интегрирования. В преобразовании Лапласа путь интегрирования связывает точки с - уоо и c-j-yoo. Замена р на уш может быть произведена, если функция F(p) не имеет полюсов вправо от мнимой оси или на ней самой. Кроме того, функция времени h(t), рассматриваемая в преобразовании Лапласа, равна нулю при / < 0. Это приводит к необходимости различать два случая.

1. Функция f{t) равна нулю при f < 0. Достаточно заменить р на уш в F{p), если только эта функция не имеет полюсов справа от мнимой оси или на ней самой.

Пример 1. fit) = 0 при г?<0, /() = е при t>0. Функция F(p) - удовлетворяет предыдущим условиям, если R(a)>0. Искомая

экспоненциальная трансформанта Фурье равна, следовательно, G{(a) = -~j-.

Так как f{t) = 0 при < < О, то, взяв вещественные и мнимые части функции 0(ш), мы непосредственно получаем косинус- и синус-трансформанты Фурье для f(t):

01(ш) = -з, 0.(<о) = -.

2. Функция не равна нулю при f < 0. Можно написать

-hoo со со

0(ш)= J f it)e-i-<-dt= f (t) e-J-t dt-j-f f(-t)eJdt.

-oo 0 0

Если f(t) и /(-t) соответственно имеют в качестве трансформант Лапласа функции Flp) и Fip) и если обе эти функции не имеют полюсов вправо от мнимой оси или на ней самой, то

0(ш) = 1(уш) + £2(-уш). Пример 2. Функции f(t)-sinvt соответствует трансформанта Лапласа -5 , имеющая два полюса на мнимой оси.

Функции / (t) = sin соответствует трансформанта Лапласа -- й)2 2 Полюсы функции Fi (р) находятся слева от мнимой оси, полюсы функции Fip) находятся, справа от нее.



функция F(p) не имеет особых точек на конечном расстоянии. Следова-

тельно, экспоненциальная трансформанта Фурье от е будет ]A2i: е 2 , так как функция Ф, будучи нечетной, исчезает в сумме FiU)-\-Fi-уш).

Поэтому трансформанта Фурье функции е имеет такой же вид, как и она сама, с точностью до коэффициента Л21т.

Замечание. Иногда удобно использовать частоту v вместо круговой частоты О). В этом случае нужно обратиться к формулам (26) и (27), которые определяют экспоненциальную трансформанту Ф(м) для функции f{t) и обратное преобразование.

Как и в предыдушем случае, если f{t) равна нулю при < О, преобразования Фурье по косинусам и синусам будут соответственно:

фJ(,)==J f {t) 008 2-1 dt, t>G, (34)

ф(y)=::j f{t)sin2!zitdt. t > 0; (35)

обратные преобразования:

f(t) = AJ ®i(v)cos2itvf dv, f>0, (36)

f{t) = A Ф2(y)sm2sntd я, t>Q. (37)

Преобразование Фурье в случае двух переменных. Преобразование Фурье легко обобшается на функции нескольких переменных. Приведем формулы для случая двух переменных. Они представляют собой обобщение -формул (20) и (21):

+00 +СО

Jit.s) = f / 0(0). ф)е-( +*йсойф. (38)

- DO -СО +00 +D0

0(0), t]j)= J J f{t, s)e-J +i tds. (39)

-co -oo

*) Здесь Ф(х) - функция вероятности ошибок. Она рассмотрена в п. 7.3.1.

Обе функции, sinи e-sint не имеют экспоненциальной трансформанты Фурье, д это представляет большое затруднение при электротехнических расчетах.

Пример 3. Трансформанта Лапласа от Л/ - е равна

(р)=Д[1-Ф(]] *).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251