Полагая a) = 2n:v, (}) = 2и:[д Ф(v, (л) == 4и:20 (27rv, 2ir[ji), получаем формулы, аналогичные (26) и (27):

/(, s)= J J ф(v, (ji)e2/(+i)dvdp,.

-CO -oo + 00 -hco

Ф(v, (л)= J J /(f, s)e-2/ (<+i*)df ds.

(40) (41)

- CO -oo

Рис. 2.24.

Соображения о симметрии, которые мы приводили раньше в отношении одномерного преобразования, могут быть повторены и здесь в отношении переменных t, v, с одной стороны, и s, jj, - с другой.

2.2.9. Физическая реальность интеграла Фурье. Многочисленные авторы отрицали физическую реальность интеграла Фурье, опираясь на следующие соображения.

Рассмотрим лампу, зажженную в момент времени = 0. Излучение этого источника света, равное нулю при < О и ставшее постоянным при f > О, представляет собой функцию времени, которую можно заменить .ее разложением в интеграл Фурье. Следовательно, можно рассматривать свет, излучаемый источником, как бесконечное число частот, проходящих весь спектр и существующих от t = - со до t = -\- со. Предположим, что в момент < О мы наблюдаем источник света через цветное стекло. Невероятно, чтобы наложение частот, дающее результат, равный нулю при f < О, продолжало давать тот же результат после исключения одной или нескольких полос частот при случайном выборе фильтра. Следовательно, можно увидеть свет прежде, чем мы зажжем лампу, если смотреть на нее сквозь цветной фильтр. Этот явно нелепый результат приводил некоторых авторов к отрицанию физической реальности интеграла Фурье.

Приведенное рассуждение неверно. Мы проделаем его заново для случая электрического фильтра, что позволит отчетливо выявить сделанное при этом ошибочное предположение.

Имеется электрическое возмущение, равное единичной . функции Г (t). Оно приложено к зажимам низкочастотного фильтра, который пропускает без ослабления частоты только ниже 2kiuq. На выходе фильтра снимают электродвижущую силу

где через Si обозначен интегральный синус (см. п. 7.2.1). .

На рис. 2.24 показана единичная функция Г() и обрезанная кривая fit), т. е. f(t) при конечном Шц. Так же как и в оптической задаче, оказывается, что напряжение возникает здесь до момента приложения электродвижущей силы - следствие опережает причину. Мы снова приходим к парадоксу, о котором говорили выше.

Но кроме гипотезы интеграл Фурье имеет физический смысл мы, написав

или, что то же самое,

.f/iN 1 I 1 Г Sin -to) , I , 1 . /- , ч

сделали еще одно предположение: существуют фильтры с бесконечным ослаблением вне полосы пропускания, такие, что изменение фазы либо

равно нулю, либо является линей-

Ослабление

Фаза

Рис. 2.25.

Wn со

ной функцией (о внутри полосы пропускания (рис. 2.25). Однако это предположение неверно.

Фильтр, характеристики которого даны на рис. 2.25, называется идеальным. В отличие от идеального трансформатора, к которому можно заставить асимптотически приближаться реальную физическую систему, идеальный фильтр невозможен, это физический абсурд. Одна из лучщих демонстраций этого абсурда-рассуждение, приведенное в начале данного пункта.

Можно показать, что для реально осуществимого фильтра функция, представляющая ослабление, и функция, представляющая изменение по фазе, не независимы. В частности, обе функции, изображенные на рис. 2.25, несовместны.

Итак, если приложить к фильтру, о котором уже говорилось, электродвижущую силу, представляемую единичной функцией, то мы обязательно получим напряжение, начинающееся в момент времени f >- О (рис. 2.26).

Рис. 2.26.

Иначе говоря, изменения фазы ср(а)) и амплитуды Л(а)), введенные прохождением сигнала, имеющего характер единичной функции, через низкочастотный фильтр, таковы, что

-1/л(ш)Н1И±ш = 0 при <0. .

Верхний предел интеграла - бесконечность, так как функция Л(а)) не может быть строго равна нулю, а может быть только близка к нулю при значениях ш > шц.

Соображения, изложенные выше, приложимы и к оптическим примерам, хотя конкретный анализ здесь часто весьма сложен *).

Добавим к сказанному, что, вообще говоря, можно осуществить фильтр с характеристиками, указанными на рис. 2.25, если собрать его из бесконечного числа элементов. Распространение возмущения в нем будет длиться бесконечно долго. В этом случае напряжение на выходе не сможет появиться раньше приложения на входе электродвижущей силы.

2.2.10. Изучение диаграмм направленности. Кроме применения к изучению переходных режимов электрических цепей, преобразование Фурье очень полезно при расчете диаграмм направленности излучателей радиоволн.

Рассмотрим излучающую рупорную антенну с плоским раструбом, поверхность которого равна 5 (рис. 2.27). Положим, что вектор излучающего электромагнитного поля в раструбе имеет постоянное направление и фазу. Тогда в плоскости раструба поле характеризуется скалярной функцией Е{х, у) координат точки по отношению к двум прямоугольным осям Ох, Оу, расположенным в плоскости раструба. Пусть Oz - нормаль, а Р - весьма удаленная точка в направлении ОР, которое определяется двумя углами аир. Напряженность результирующего электрического поля в точке Р обратно пропорциональна расстоянию ОР.

Произведение напряженности на это расстояние зависит только от направления, т. е. от углов аир. Можно получить диаграмму направленности излучателя радиоволн, если отложить в направлении ОР отрезок, пропорциональный этому произведению. Величина отрезка в тех направлениях, где можно пренебречь членами порядка и равна функции р. определяемой по формуле ):

Рис. 2.27.

/sinа sinp\ С С Е(х, у) 2; П )~J J ~

. jrsinn+ysinP

dx dy.

Так как поле вне области 5 равно нулю, то можно распространить двойное интегрирование на всю плоскость хОу. Тогда, считая, что

sin а

-т

sin 3

мы видим, что диаграмма направленности описывается преобразованием Фурье функции Е{х, у) (см. формулу (41)). И наоборот, если требуется получить

*) В оптических задачах рассмотренный парадокс свидетельствует о том, что имеется тесная связь между коэффициентом преломления, определяющим набег фазы, и коэффициентом поглощения. Формулы связи были найдены в 1928 г. Р. Кронигом и Г. Крамерсом в Виде соотнощений, связывающих вещественную и мнимую части диэлектрической постоянной. Они называются дисперсионными соотношениями (см. Л. Д. Ландау и Е. М. Л и ф ш и ц, Электродинамика сплошных сред, Гостехиздат,

В последние годы дисперсионные соотношения стали широко использоваться при изучении взаимодействия элементарных частиц.

) G. G о u d е t, Les ondes electromagnetiques centimetriques, Paris, 1948, p. 154.