Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

*) Встреченные затруднения можно обойти, если ввести дополнительное ограничение при использовании символического вектора V (см., например, [4]). В это.м случае с помощью V можно получить все приведенные ниже формулы для векторных и скалярных функций точки.

Далее, выражение (12) для производной вектора а по вектору b можно переписать в виде

т. е.

(6-V)a.

При расчетах следует помнить, что символический вектор V обладает не только свойствами вектора. В самом деле, рассмотрим произведение

VXiaXb). .

Применяя к нему формулу (9), получим -

V X ( X &) = (V &) а - (V - а) &

или, возвращаясь к обычным обозначениям, .

rot (aXb) = auivb - b div a,

a это неверно.

Если применить ту же самую формулу (9) к произведению

V X (V X ).

то получим

V X (V X ) = V (V а) - (V V) С или в обычных обозначениях

rot rot а - grad diva - Да.

Эта формула верна (см. п. 3.2.14).

Неправильность первого результата объясняется тем, что вектор V, кроме векторных свойств, обладает также дифференциальными свойствами, которые не проявлялись, пока нужно было умножать на вектор V какое-либо число, вектор или линейную комбинацию векторов, однако проявились при умножении на вектор V произведения векторов *).

Действительно, рассмотрим . снова произведение V X (а X Ь). Согласно формуле (22) имеем

VX(aX6) = iX-( X6)4-yX-r( X6)+*X-( X&)

или, ограничиваясь записью только первого члена,

x(Xb) + ix(aX-)+...

Прийеним теперь формулу (9):

да (. да\ , , (. дЪ\ ,. дЪ ,



дх дх у дх дх дх у дх

Проекция правой части формулы (26) на ось Ох равна

[дЬу дЬЛ Idb db-s I до.у да \

у \дх ду j Лдг дх \~д ду~1 ~

Нетрудно убедиться, что полученные выражения для проекций совпадают. То же самое, очевидно, имеет место для проекций на оси Оу и Oz. Дивергенция произведения скалярной функции на векторную.

div(/a) = fl: grad/-i-/diva. (27)

Действительно,

. , с>(/ах) , д(/ау) д(/а,) .

dlv(/ ) = -~ + - + - =

I dUji- дйу даг:\ df df df

I day day da ,

dx -y dy dz

== / div a -j- a grad /.

Дивергенция векторного произведения.

div( X 6) = 6 rote-a rot6. (28)

Действитель110,

d,v( x = b(X<. + -.x)+/.(f X* + axf)+

+ *.(x*+<.x).

Далее получаем последовательно:

( --1)6+ ..- =6div€2 = 6(V-a).

откуда

V X ( X 6) = й; (V &) - й (V - a) + (6 V) a - (a - V) &

или в обычных обозначениях

rot(aX6) = acliv6 -6diva4- --Ц.

Справедливость этого результата мы проверим в следующем пункте. 3.2.14. Наиболее употребительные формулы. Градиент скалярного произведения.

grad(a-6) = cXrot6-b6Xrotc4--g-+-- (26)

Проекция левой части формулы (26) на ось Ох равна

да дйу да, дЪ дЪу дЬ

b+b,+ a-{--a, + a,.



Учитывая свойства смешанного произведения и формулу (22), получаем

, дх

x)=--(xJ), .

div(aX&) = 6- (/xU+ ...) -a.(t X- + . ..] = 6-rotfl! -fl!Tot&.

(29)

Дивергенция градиента.

div (grad/) = Д/.

Действительно,

л- / J д df , д df , д df . ,

d,v(grad/) = + + - = V.

Дивергенция вихря.

Действительно, d I да

div (rot а) = 0.

(30)

IdUz дау\ д fdUj, дал д/

[ду dz ду [ dz дх jdz \

дх \ду dz I ду \ dz Дивергенция лапласиана.

div (Да) = Д (div а).

Действительно,

дйу 1х

= 0.

(31)

div (Да):

дййу

дйа.

Используя определение Лапласиана, придадим этому выражению следующий вид:

д [да.

да.,

дх \дх

да ~д

\ д I даг

да.,

д Idoy

Вихрь градиента. Действительно,

rot(grad/):=£(-) + 4

dz \ дх rot (grad /) = 0.

Adiva. (32)

dz dzdy) -fXdzdx dxdz) Хдхду дудх, Вихрь произведения скалярной функции на векторную.

rot (Ja) = grad / X + / rot а. (33)

Действительно,

rot(/a)==£X + /X

-feX

d(fa)

ду / dz

= grad/X + /rota;

Вихрь векторного произведения.

rot(aX&) = div&-&diva + -(34)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251