Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу *) Встреченные затруднения можно обойти, если ввести дополнительное ограничение при использовании символического вектора V (см., например, [4]). В это.м случае с помощью V можно получить все приведенные ниже формулы для векторных и скалярных функций точки. Далее, выражение (12) для производной вектора а по вектору b можно переписать в виде т. е. (6-V)a. При расчетах следует помнить, что символический вектор V обладает не только свойствами вектора. В самом деле, рассмотрим произведение VXiaXb). . Применяя к нему формулу (9), получим - V X ( X &) = (V &) а - (V - а) & или, возвращаясь к обычным обозначениям, . rot (aXb) = auivb - b div a, a это неверно. Если применить ту же самую формулу (9) к произведению V X (V X ). то получим V X (V X ) = V (V а) - (V V) С или в обычных обозначениях rot rot а - grad diva - Да. Эта формула верна (см. п. 3.2.14). Неправильность первого результата объясняется тем, что вектор V, кроме векторных свойств, обладает также дифференциальными свойствами, которые не проявлялись, пока нужно было умножать на вектор V какое-либо число, вектор или линейную комбинацию векторов, однако проявились при умножении на вектор V произведения векторов *). Действительно, рассмотрим . снова произведение V X (а X Ь). Согласно формуле (22) имеем VX(aX6) = iX-( X6)4-yX-r( X6)+*X-( X&) или, ограничиваясь записью только первого члена, x(Xb) + ix(aX-)+... Прийеним теперь формулу (9): да (. да\ , , (. дЪ\ ,. дЪ , дх дх у дх дх дх у дх Проекция правой части формулы (26) на ось Ох равна [дЬу дЬЛ Idb db-s I до.у да \ у \дх ду j Лдг дх \~д ду~1 ~ Нетрудно убедиться, что полученные выражения для проекций совпадают. То же самое, очевидно, имеет место для проекций на оси Оу и Oz. Дивергенция произведения скалярной функции на векторную. div(/a) = fl: grad/-i-/diva. (27) Действительно, . , с>(/ах) , д(/ау) д(/а,) . dlv(/ ) = -~ + - + - = I dUji- дйу даг:\ df df df I day day da , dx -y dy dz == / div a -j- a grad /. Дивергенция векторного произведения. div( X 6) = 6 rote-a rot6. (28) Действитель110, d,v( x = b(X<. + -.x)+/.(f X* + axf)+ + *.(x*+<.x). Далее получаем последовательно: ( --1)6+ ..- =6div€2 = 6(V-a). откуда V X ( X 6) = й; (V &) - й (V - a) + (6 V) a - (a - V) & или в обычных обозначениях rot(aX6) = acliv6 -6diva4- --Ц. Справедливость этого результата мы проверим в следующем пункте. 3.2.14. Наиболее употребительные формулы. Градиент скалярного произведения. grad(a-6) = cXrot6-b6Xrotc4--g-+-- (26) Проекция левой части формулы (26) на ось Ох равна да дйу да, дЪ дЪу дЬ b+b,+ a-{--a, + a,. Учитывая свойства смешанного произведения и формулу (22), получаем , дх x)=--(xJ), . div(aX&) = 6- (/xU+ ...) -a.(t X- + . ..] = 6-rotfl! -fl!Tot&. (29) Дивергенция градиента. div (grad/) = Д/. Действительно, л- / J д df , д df , д df . , d,v(grad/) = + + - = V. Дивергенция вихря. Действительно, d I да div (rot а) = 0. (30) IdUz дау\ д fdUj, дал д/ [ду dz ду [ dz дх jdz \ дх \ду dz I ду \ dz Дивергенция лапласиана. div (Да) = Д (div а). Действительно, дйу 1х = 0. (31) div (Да): дййу дйа. Используя определение Лапласиана, придадим этому выражению следующий вид: д [да. да., дх \дх да ~д \ д I даг да., д Idoy Вихрь градиента. Действительно, rot(grad/):=£(-) + 4 dz \ дх rot (grad /) = 0. Adiva. (32) dz dzdy) -fXdzdx dxdz) Хдхду дудх, Вихрь произведения скалярной функции на векторную. rot (Ja) = grad / X + / rot а. (33) Действительно, rot(/a)==£X + /X -feX d(fa) ду / dz = grad/X + /rota; Вихрь векторного произведения. rot(aX&) = div&-&diva + -(34)
|