Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу ду dz Если Л = rot а, то day dox- А, = 2 дх dy day da. А,= У dz dx Следовательно, проекция вектора rot rot а на ось Ох равна доу doy dax da; d Ida day da\ dxdy dxdz dx\dx~~dy~~~dzl -x - (diva) -Дй. Аналогично доказывается равенство проекций векторов обеих частей формулы (35) на оси Оу и Oz. 3.2.15. Смысл вектора rota. Рассмотрим вращательное движение материальной точки с угловой скоростью О) вокруг некоторой оси. Из механики известно, что линейная скорость точки V связана с to и радиусом-вектором точки г соотношением Отсюда непосредственно получаем , rotV=2b). Перейдем к более общему случаю. Рассмотрим поле скоростей текущей жидкости V(x, у, Z, t). Движение малого элемента жидкости складывается из параллельного переноса, поворота как твердого тела и деформаций. Можно показать, что и в этом случае вихрь скорости V равен удвоенной угловой скорости вращения w элемента жидкости. 3.2.16. Скалярный потенциал. Любая векторная функция точки М, вихрь которой тождественно равен нулю, может рассматриваться как градиент некоторой скалярной функции точки М. Действительно, пусть вихрь вектора а = iCj + jUy -- ka равен нулю, т. е. da day day da day day ~dy~6z ЖШ ~dx~~dy~ Проекция, например, на ось Ох левой части равенства равна Проекция на ось Ох, правой части равенства равна I дЬх , бЬу дЬ\ Ida да да\ дх ду у dz дх ду У dz Легко проверить, что обе эти проекции равны. Вихрь вихря. rot rot а = grad div а - Да. (35) Проекция на ось Ох вектора rot .4 равна дА дАу Введем функции / с помощью соотношения (37) Докажем, что тогда из равенств (36) следует df df Согласно формуле (3.7) /= Jadx + (p(y, Z), о где (р - произвольная функция. Продифференцируем (38) по у: df Г да I d(y, 2) ду ~ J ду ду Учитывая третье равенство из (36), находим EL-. (38) df Г да ду J дх : йу - йу у df (у, Z) i d<f (у, z) Точно так же, дифференцируя равенство (38) по г и применяя второе равенство (36), находим , (у, Z) dz Далее, функцию 9 (у, z) можно определить-так, что Действительно, положим Отсюда лг=0 (jy (у, Z) х = 0 О =0 где ф (у) - произвольная функция. Дифференцируя по у, имеем dfjy, Z) Г ду ~ J лг = 0 dz+Y(y). Применяя первое равенство (36), можем написать dPiy- г) ду day ~dz dz+Y(y)- откуда (у. 2) - а. лг=0 лг = 0 z=0 Для доказательства (*) достаточно положить f (У)-= yL = 0 z=0 Используя (*), получим ду У dz 2 Таким образом, если rotfl:=0, то можно найти такую скалярную функцию /, что и обратно, если df х- -7 -V dz- -- df df 6f dx dy У dz ~ rota = 0. Это очевидно, так как в рассматриваемом случае а = grad /, а согласно формуле (32) rot (grad /) = 0. Следовательно, для того чтобы данное векторное поле а являлось градиентом некоторой скалярной величины /, необходимо и достаточно обращение в нуль вихря а, т. е. выполнение равенства rota -0. Итак, если rota -О, то существует такая скалярная функция V - - /, что а - - grad V. Если при этом функция V однозначна, то она называется скалярным потенциалом, а про вектор а говорят, что он равен производной от скалярного потенциала V. Из равенства а = - gx&AV и формулы (29) следует: diva = -IW. Такое поле векторов а называется потенциальным, ньютоновым, слоистым или безвихревым. Эти названия напоминают, что поле всемирного тяготения относится к рассматриваемому типу полей, что эти поля могут быть разложены с помощью поверхностей уровня \/ = const на слои и что rota = 0. Отметим, что стационарное электрическое поле равно производной от скалярного потенциала. 3.2.17. Частный случай: вектор проходит через фиксированную точку. Пусть о - фиксированная и М{х, у, z) - переменная точка (рис. 3.13). Обозначим через г расстояние ОМ, а через и орт вектора ОМ. Таким образом, ОМ = иг. Рассмотрим вектор МА, линия действия которого проходит через точку О. Если его модуль зависит только от расстояния ОМ = г, то мы можем написать MAufir). Имеем grad / (г) grad г. Рис. 3.13.
|