cos(2A;-)+/sin(2).

то увидим, что все корни п-й степени из р (cos cp-j-/sin 9) можно получить, умножая любой такой корень последовательно на п корней п-й степени из единицы.

. 1.1.9. Ряды с комплексными членами. Рассмотрим ряд

ft= о

сбший член которого Z/ - х-\-jy. Ряд будет называться сходящимся, €сли его частичная сумма S = (лг-f-/У ) стремится к пределу Y-j-yT. когда и->схэ. Для сходимости этого ряда необходимо и достаточно, чтобы

ао со .

сходились порознь ряды и 2 Уй-

Рассмотрим ряд

со

Общий член этого ряда - -j--модуль комплексного числа z. Так как

то сходимость ряда из модулей влечет сходимость обоих рядов 2 k

к= о

со оо

2 Уь- этом случае про ряд 2 говорят, что он абсолютно сходящийся.

1.1.10. Степенные ряды*). Рассмотрим ряд 2 ь;*, где а и z - ком-

плексные числа. Ряд

Ар (А,= \а,\. p=\z\),

fc=0

составленный из модулей членов первого ряда, есть степенной ряд с вещественными членами. Для этих рядов доказывается существование числа /? О (оно может быть равно и бесконечности) такого, что ряд сходится при р < /? и расходится при р >

Вернемся теперь к ряду 2 ь (степенному ряду с комплексными чле-

k= о

нами) и рассмотрим в комплексной плоскости круГ с центром О и радиусом R. Этот ряд будет сходящимся или расходящимся в зависимости от того, где будет находиться изображение z: внутри или вне круга.

Понятие равномерной сходимости, а также теоремы, относящиеся к сложению, умножению, дифференцированию и интегрированию вещественных степенных рядов, целиком применимы к комплексным степенным рядам.

*) Автор называет степенной ряд целым рядом . Этот термин принят в некоторых французских .руководствах. (Здесь и далее звездочкой отмечены подстрочные примечания редакторов перевода.)

) Иногда число 2=l2 (cos + ysinm) записывают в виде \z\\ при отрицательном tp и lljtp при положительном (р. Например, г= 10-f-5y = 11,1826°34.

*) Обычно различают главное значение логарифма In 2 и бесконечнозначную функцию Ln г (см., например, [4], стр. 33-36).

Пример. Рассмотрим, разложение в степенной ряд (ряд Тейлора) функции е:

е - 1-1- 1! -h 2! 3!

е -I 2! 4! 6!- -U! 3! 5! 7! / I

В вещественной и мнимой части этого разложения можно узнать ряды для cosy и sin у. Таким образом, получаем формулу Эйлера:

е = cos у -- У sin у.

Если заменить у на - у, то

e~ = zosy - У sin у.

Складывая и вычитая полученные формулы., найдем:

eJy-i-e-Jy . ey-e-Jy cosy =-2- siny =-2/-

Отметим важные частные случаи формулы Эйлера:

К2

Форм.ула Эйлера дает возможность комплексное число 2 = X + Уу = р (c6s ср + У sin ср)

записать в виде)

2г = ре>.

Последняя формула непосредственно иллюстрирует правило умножения и деления двух комплексных чисел 2 = Piefi, z - ef. В самом деле, имеем

1.1.11. Экспоненциальная функция и логарифм. Функцию та; = е, где Z - х-\- ]у, с помощью формулы Эйлера можно написать в таком виде:

w = е (cos у-\г j sin у). Заменяя z на z- = z -\-2kii, где k - целое число, получаем

Таким образом, экспоненциальная функция имеет период 2тсу.

Рассмотрим функцию w, определенную соотношением z = e при z - х-{--j- jy - ре ?. Имеем *)

и; = In 2 =In (х2 + у2) у arctg, а; = In р -f- У (cp-f- 2Атс).

/ (О = *о + 2 cos mwt + ш sin mwt, где ш = .

1п\ т = \

Изучение поведения электрической цепи, в которой течет периодический ток i = / {t), можно свести к рассмотрению той же цепи с синусоидальными токами периода Т, 7/2, Г/3, ..., иначе говоря, к рассмотрению постоянных синусоидальных режимов этой цепи.

Если функция f {t) непериодична, то, как мы увидим в гл. 11, разложением в интеграл Фурье ее можно представить в виде суммы синусоидальных

1.1.12. Дифференцирование и интегрирование по аргументу. Дано комплексное число z~pe. Его производная по 9 есть

dz . ,ъ J -5- /<р j (v+-)

Таким образом, дифференцирование по аргументу приводит к повороту отрезка ОМ на угол -- (рис. 1.6). Очевидно, что интегрирование по cf приводит к повороту отрезка ОМ на угол - ~.

1.1.13. Суммирование тригонометрических функций, аргументы которых составляют арифметическую прогрессию. Требуется выиcлить суммы

51 = cos а + cos (а-+8) +cos (а+ 28)+ ... +cos [а + (/?г-1)8],

52 = sin a + sin (a+8) + sin (a+2S)+ ... +sin [а + (/?г-1)8]

m косинусов или синусов, аргументы которых составляют арифметическую прогрессию.

Рассмотрим сумму S = 5j + yg:

s = . [i+. V+ ... +.].-.

Последовательно находим

e-f-e ~ sin В/2 ~

= {cos [а + ( г - 1) 8/2] +./s,in [а- +(m - 1)8/2]}

Разделяя вещественную и мнимую части, получаем

S, = cos [а + (т-1)8/2] g. (1)

S2 = sin[a + (m-l)8/2]-j. (2)

1.2. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН ПРИ РАСЧЕТЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ В СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ

1.2,1.-Введение. Рассмотрим периодическую функцию f(t)c периодом Г, т. е. такую, что f {t) = f {t-\-пТ) (п - целое). В гл. И мы увидим, что эта функция может быть разложена в ряд Фурье. Иначе говоря, ее можно-написать в виде