divA13-+ т. е.

и ги.

divAl = /(r) + /(r). (40)

Пусть F{r) такова, что F(г)-f (г). Тогда, согласно (39),

MA=uf{r) = gmuF(r). (41)

т.е. МЛ является производной от скалярного потенциала К = - Р(>)- Поэтому

го1Л1.Д=0.

3.2.18. Векторный потенциал. Любая векторная функция точки М, для которой дивергенция тождественно равна нулю, может рассматриваться как вихрь некоторого вектора.

Действительно, пусть задан вектор a-iaji.-{- jUy-f-ka, причем

day да daz diva = 4-+-==0. дх ду dz

Отыскание вектора b - ibj-\- jby-\~kb, удовлетворяющего условию a = rot&,. сводится к решению системы уравнений:

= а (42)

= ay, (43).

= (44)

Таких векторов b существует бесконечно много. Выберем один из них при условии, что Ь~0. В этом случае равенства (42) и (43) переходят в

Далее,

i/ 9~;-o~-ъ j lx-\-iy-\-kz ОМ r=yx\-y~{-z, grad г = --Y-= - =

Следовательно,

grad/(r)=:/(r)a. (39>

Вычислим дивергенцию вектора МА. Имеем

MA = uf{r) = f{r).

Следовательно,

div =div ОЛ1 + ОЖ grad,

j- дх , ду , dz

div07M+-+-=-3.

Поэтому, учитывая (39), получаем

f{r)

Дифференцируя равенство (46) по у, найдем

d4j, day dzdy~ ду

Используя это соотношение и равенство (47), продифференцированное по z, имеем

day д

ду dz

day dax da

dv dx dz

Эта формула справедлива в силу предположения, что diva = 0.

Таким образом, соотношение (44) является следствием формул (45), (46) и уравнения diva = 0. Иначе говоря, равенства (45) и (46) при условии .diva=0 определяют вектор b такой, что ЬО и rot& = fl:.

Пусть теперь вектор с удовлетворяет уравнению rot с = а- Тогда

rot с - rot й = О

rot(c-Й)=0,

т. е.

с~Ь = grad /.

Следовательно, вектор с определяется лишь с точностью до градиента произвольной скалярной функции точки М. Это соотношение очевидно, так как к полю векторов с, для которых rot с = а, можно добавить поле любых других векторов с нулевым вихрем. Из бесконечного множества этих векторов выберем вектор, дивергенция которого равна нулю. Обозначим его-через V. Вектор v можно представить в виде суммы определенного выше вектора b и градиента произвольной скалярной функции /.

Имеем

diV0=:O.

ч) - Ь= grad /. Из последнего равенства следует

div(0 - Ь)= div grad/ = Д/, div© - div&:=A/.

Так как div0 = O, то / определяется из уравнения Д/= - div &. Итак, если div а = О, то существует такой вектор v, что a = xotv и div 0=0. Вектор V называется векторным потенциалом а, а про вектор а говорят.

Из равенства (45) получаем

by = ~f adz + fix, у), о

В силу последнего соотношения равенство (44) переходит в уравнение относительно by.

*) Обычно циркуляцией называется криволинейный интеграл векторного поля, взятый по замкнутому контуру. Если же контур не замкнут, то этот интеграл называют линейным.

ЧТО ОН равен производной от векторного потенциала v. Вектор а, для которого div а = О, называется соленоидальным вектором. Поле векторов с нулевой дивергенцией называется соленоидальным или лапласовым (магнитное поле системы токов, элементарные поля которых задаются законом Лапласа, относится к рассмотренному типу полей).

Замечание. Векторный потенциал определяется неоднозначно. В самом деле, рассмотрим вектор

= ©-Ь grad (р.

Имеем

rot с, = rot г + rot grad у. Так как rotgradcp = 0, то iotv = a при любом у. Условие

div 01 = О

выполняется, если div grad ip-Дер = 0. Следовательно, векторный потенциал определяется с точностью до градиента скалярной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

3.2.19. Общий случай векторного поля. Любое векторное поле можно рассматривать как наложение потенциального и соленоидального полей.

Действительно, пусть а - произвольное векторное поле. Рассмотрим вектор Ь, вихрь которого равен нулю. Тогда & -grad/; вид скалярной функции / указывается ниже.

Положим (: = а-Ь. Выберем вектор Ь так, чтобы divc=0. Тогда

di V а = di V & = di V grad/= Д/.

Отсюда следует, что dive = О, если A/ = diva. Так как а=Ь-\-с, а rot & = О, то теорема доказана.

Согласно п. 3.2.16 вектор Ь равен производной от скалярного потенциала V = - /. Вектор с равен производной от векторного потенциала v (см. п. 3.2.18). Таким образом,

а - ~ grad V + rot г .

3.3. ВЕКТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.3.1. Циркуляция вектора. Пусть М - переменная точка дуги АВ (рис. 3.14), а - векторная функция точки М.

Циркуляцией вектора а по дуге АВ называется

значение криволинейного интеграла J а dM*)(криво-

линейный интеграл берется от скалярного произведения).

Если а - сила, то рассматриваемый интеграл представляет собой работу этой силы вдоль дуги АВ.

Замечание. Если вектор а равен производной

от скалярного потенциала V, то согласно формуле -

grad V dM = dV имеем J а dM = V - V. В этом случае циркуляция за-

висит только от начальной и конечной точек пути интегрирования.