Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Так как divB -О, то для вектора В существует векторный потенциал А. Определим его. Имеем В = rot Л. В пустоте В = ,Н, поэтому 4я гЗ (66) Преобразуем формулу (66): rot Л = eVXi-+eVXJ + eVXk ) + JX *x(-)j + УХ Сравнивая полученную формулу с формулой (22), найдем, что Применим полученную формулу для случая тока, текущего по проводу. Это важный частный случай движения заряженных частиц. Пусть dS - элемент поверхности, через который проходит ток /, J-вектор плотности тока. Имеем JdS-I. Используя формулы (64) и (65), получим выражение для векторного потенциала тока в проводе А через интеграл, распространенный на объем V {dv == dS dz) рассматриваемого провода: H(sy, (67) Рис. 3.23. Применение этой формулы к электрической цепи, по которой идет ток, может привести к некоторым затруднениям. Рассмотрим, например, случай бесконечного прямолинейного провода. Пусть его сечение dS, а сила тока в нем /. Выделим мысленно отрезок АВ и найдем векторный потенциал, созданный током, текущим по этому отрезку. Рассмотрим точку Р, отстоящую от АВ на расстоянии d (рис. 3.23). Так как векторный потенциал обладает осевой симметрией относительно АВ, то при определении точки Р достаточно указать абсциссу точки Н и расстояние HP-d. Пусть М - любая точка отрезка АВ, а Zy, z s п z - абсциссы точек А, В, Н, М относительно фиксированной точки О. Обозначим через г расстояние MP. Имеем Jdv - JdSdz - ldz. Поэтому формула (67) дает следующее выражение для векторного потенциала А: 21. 1 =1{ы \Mar-\-{z-sf iz -.)] i:::;, а так как Yd- + iZy-sf + z.-s Yd + {z,-sY~(z,-s) + 1п [Yd--(Zi~sf -(2,~s)]}. (68> Для перехода к бесконечному прямолинейному току нужно устремить 2j и 2 соответственно к -оо и -f-oo. При этом векторный потенциал также стремится к бесконечности. Следует заметить, однако, что магнитное поле В рассматриваемого тока конечно. Поэтому должны быть конечны частные производные векторного потенциала А, так как B = tot А. Положим в формуле (68) d = d и s = s., и полученную постоянную-величину вычтем из правой части этой-формулы. Имеем с точностью до потенциала в фиксированной точке: А =-/ I {YA + (2 - S,f Ч- 2 - l) {VA + (i - Syf - {Z, ~ S,)) I Если теперь устремить z и z соответственно к -оо и +оо, то = i(ln-L ln-l 471 I d d\ j Так как векторный потенциал определяется лишь с точностью до градиента скалярной функции (см. п. 3.2.18), то можно написать д = Ё/(-1пй2). Рис. 3.24. Векторный потенциал тока в проводнике с любым поперечным сечением (рис. 3.24) выражается через поверхностный интеграл: ddS. 3.4. СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ 3.4.1. Определение. Рассмотрим трехмерное пространство, в котором введена система прямоугольных координат Ох, Оу, Oz. Мы можем связать-это пространство с системой криволинейных координат. Пусть между прямоугольными координатами х, у, г и криволинейными координатами и, v. w устанавливается взаимно однозначное соответствие, описываемое формулами х = р(и, V, w), y - q(u, V, w), z = r(u, v, w) (70)- u=P( x, y, z) vQ{x, y, z), wRix, y, z). (71> Уравнения и - const, v ~ const, w - const представляют собой уравнения координатных поверхностей криволинейной системы в прямоугольной системе координат. Каждая пара координатных поверхностей, проходящих через фиксированную точку М, образует в пересечении координатную линию. Параметрические уравнения координатных линий получаются из уравнений (70), если в них поочередно изменять только одну из переменных и, V, w, оставляя при этом неизменными остальные две (рис. 3.25). В этой главе мы ограничимся рассмотрением ортогональных криволинейных координат, неортогональные системы будут изучены в п. 5.2.1 и последующих. По определению, криволинейные координаты называются ортогональными, если в любой точке М касательные к координатным линиям образуют прямоугольный трехгранник. Квадрат элемента длины ds в прямоугольных координатах дается формулой ds = dx-\~df-\-dz- В случае ортогональных криволинейных координат эта формула приобретает следующий вид: Рис. 3.25. -где el, el е\ обозначают величины [ди] ~{ди) \ dm / V dm ) \ dm j \ du Если элемент ds параллелен касательной в точке М к оси Ми, то его длина будет равна е du. Аналогично длины элементов, параллельных осям Mv и Mw, равны 62dv и edw. Так как величины е, являются функ- циями координат точки, их называют единицами локальной длины **). Рассмотрим скалярную функцию точки V {х, у, z). Выражение этой функции в криволинейной системе координат получается простой заменой X, у, Z их значениями (70). Пусть теперь Л(х, у, z) - векторная функция точки, Л, Ау, А - проекции вектора Л на оси прямоугольной системы *) Нетрудно показать, что необходимым и достаточным условием ортогональности системы криволинейных координат является условие, состоящее в том, чтобы выражение ds содержало только члены с квадратами дифференциалов (см., например, [3], стр. 340, 341). **) Величины е 2, бз называются такжекоэффициентами Ламе, метрическими коэффициентами, масштабными множителями.
|