координат. Проведем в точке М{х, у, z) касательные к криволинейным осям Ми, Mv, Mw и обозначим через Л, Л проекции вектора А на эти касательные. Используя формулы (4) и (5), получим

Л =Лсо5(х, cos(y, и)+Лсо5(г, и),

A. = Acos{x, v)-\-AyCos{y, v)-\-Acos{z, v), (72)

A = Aj. cos (x, w) + Ay cos (y,wi)--\- A cos (z, w).

В этих формулах *)

1 ду

cos(x, и) =

1 ах ei да

. 1 -их cos(x, v) = -

, . \ дх cos(x, г;)== -

cos (у. и) - cos (у. =

е, да 1 (5у

cos (г, й)= -

cos (г, =

1 ау

cos (у, =

cos (г, w) -

2 йг; 1 дг

(73)

Пример. Рассмотрим систему координат \, <р, z, связанную с прямоугольными координатами х, у, z по формулам:

x = ach?cos<p, y = ash?sin<p, z - z.

Координатные имеют вид:

поверхности

2 ch g 2 sh2 g

(эллиптический цилиндр), х2 у2

1 = 0

(гиперболический цилиндр), 2 = const (плоскость).

Рис. 3.26.

Эти три поверхности попарно ортогональны, так как ортогональны

софокусные эллипсы и гиперболы, а плоскости z = c перпендикулярны образующим полученных цилиндров (рис. 3.26).

Координатные линии представляют собой гиперболу, эллипс (обе кривые в плоскости, перпендикулярной оси Oz) и прямую, параллельную оси Oz а проходящую через точку т (см. рисунок).

Квадрат элемента длины равен

ах 1 2:2 == а2 (Ch2 ? ~ COS <р) + (сЬ ? - COS <р) dcp2 -- dZ.

*) Вектор

dx . , dy . , дг , да да- ди

длина которого равна е параллелен касательной к координатной линии и. Это следует из параметрических уравнений линии и (см. выше). Далее,

е, t = cos (х, и),

откуда и вытекает первая из формул (73). Аналогично получаются и остальные фоо-мулы (73).

Следовательно, единицы локальной длины соответственно равны

e - e2=a{chi,-costf), 63=!.

Проекции векторной функции

относительно криволинейных осей координат находятся по формулам:

sli S cos ф -\~ А

~ (chg -cosy)/ (chg -cosa:)/

- - ch g sin у sh £ cos у

(chS -cos2y)/= MchS -cos?)

Л, = Л,.

Замечание. С криволинейными ортогональными координатами не так легко обращаться, как с прямоугольными. Обычно уравнения (70) однозначно определяют х, у, z по криволинейным координатам, однако уравнения (71) не являются однозначными функциями прямоугольных координат. Это нарушение взаимной однозначности приводит к существенным трудностям.

Рассмотрим эллиптические координаты на плоскости. Они определяются по формулам рассмотренного выше примера, если ограничиться случаем постоянного Z.

Пусть и <р принимают все возможные значения (т. е. все значения, заключенные соответственно между -оо и +00 и между О и 2tz). Тогда каждая точка плоскости хОу пробегается по два раза. Эти точки получатся по одному разу, если принять одно из следующих двух ограничений:

1) 0<<Ч-оо, 0<ф<21г;

2) оо<<Н-оо, 0<9<7г.

Однако и при этих ограничениях имеется неустранимое нарушение непрерывности. Изучим этот вопрос подробнее.

Точки, расположенные на отрезке FF (см. рис. 3.26), находятся на бесконечно сплюснутом эллипсе (=0) и в вершинах гипербол (о = const). Рассмотрим точки Ж)(Ер <Pi) и М2{2- Фг)- расположенные на гиперболе вблизи отрезка FF по разные стороны от него. Если ср меняется от О до 2тс (случай I), то 50, и необходимо <s2 = 2tz - cpj. Пусть точки Ж, и неограниченно приближаются друг к другу, оставаясь на одной и той же гиперболе. Тогда и 2 стремятся к нулю, а <pi и cpg остаются постоянными. Следовательно, в случае 1 бесконечно близкие к отрезку FF точки имеют существенно разные эллиптические координаты (по ср).

Далее, точки, расположенные на оси хх вне отрезка FF. находятся на вырожденной гиперболе ср=0 и в вершинах эллипсов (Е = const). Рассмотрим теперь точки на эллипсе Л/(Е, cpj) и Agfe Фг) положение которых показано на рис. 3.26. Если меняется от -оо до -f-oo (случай 2), то О -< ср < 11, и необходимо ?2 = - i- При неограниченном сближении и A/g по одному и тому же эллипсу <pi и cpg стремятся к нулю, а и остаются постоянными. Следовательно, в случае 2 бесконечно близкие к полупрямым xF и Fx точки имеют существенно разные эллиптические координаты (по i).

Фактически в случаях 1 и 2 мы имеем две разные системы эллиптических координат.

div Л =

-(eeAJ+.-ieeAJ-h-CeiBAJ . (75)

Применяя формулу Стокса к поверхности AIAOD, можно определить проекцию вектора rot Л на направление касательной к оси и. Линейные интегралы вектора Л вдоль МА, АО, 0D, DM с точностью до бесконечно малых высшего порядка соответственно равны

Aedv, A.e3dW-\-~(eAJdvdw, - Aedv--ie.AJdwdv , -Aedw,

причем значения проекций Л и локальных длин е, е, вычислены в точке М (рис. 3.25). Сзшма этих интегралов равна произведению составляющей rot А

*) Обозначим поверхности MA3D и BCFE соответственно (I) и (II), а оргы осей к, V, W - через е е, е- Длины ребер рассматриваемого элементарного объема Ах равны du, е.2 dv, dw. Учитывая ортогональность системы координат и направление внешней нормали на гранях Д-с, имеем:

dj[ = - е\е2 dve-dw. rf. i = e\e., dv dw,

f A.dc= I {Ae\ +...) е-гз dvdw- f {Ae\ +...) ejeeg dv dw (i)+(H) (U) (i)

~ [(Au.e2eslji, - {Aue.,es\i\ dvdwK {Ae) dudvdw.

**) Очевидно, имеем

АЪ; Ad-z= j uiv Aei duedvesdw к uiv Aeieiedudvdw.

3.4.2. Дифференциальные операторы в ортогональных криволинейных координатах. Пусть V(x. у, z) и А(х, у, г) - скалярная и векторная функции точки. Найдем выражения для grad К, div А, AV, rot Л в системе ортогональных криволинейных координат, заданных уравнениями (70).

Рассмотрим малый криволинейный параллелепипед, построенный на осях координат Ala, Mv, Mw, проходящих через точку М (рис. 3.25). Используя формулы (72) и (73), нетрудно показать, что проекция вектора grad К на направление

касательной в точке М к дуге MB равна grad К = Следовательно,

имеют место формулы:

в <.=~ж =- 1-.У=- ( t

Чтобы вычислить выражение для дивергенции вектора А, мы воспользуемся формулой (49), применяя ее к элементарному объему в криволинейной системе координат.

Разность между поверхностными интегралами по поверхности BCFE и поверхности A1AQD равна

-{e2eA)dudvd-w*).

Аналогичное выражение получится и для остальных пар противолежащих граней. Таким образом**).