.,(.2 + .;рЛ + (Р + 52)аЛ,1 + 4-( + ) + ; 1 ал 1 , дА\

го1 Л =

? Cap d\i СаЪ

I Id А, дАЛ

I I 1дА,

го1,Л=(Лз-РЛ)-ЬжЫ

.,. j /r dV , 1 (дУ dW\ 1

~ С2а882 IP da dp j CB I da dp j + cap d

3.4.7. Система эллиптических цилиндрических координат. На рис. 3.30

изображены эллипс и гипербола - представители двух взаимно ортогональных семейств софокусных эллипсов и гипербол с осями OA и ОВ). При параллельном переносе по перпендикуляру ОС к плоскости рисунка рассматриваемые эллипсы и гиперболы опишут эллиптические и гиперболические цилиндры, образующие две системы взаимно ортогональных координатных поверхностей. Третья система координатных поверхностей состоит из плоскостей, параллельных плоскости ОАВ. Если OA, ОВ, ОС принять за оси прямоугольной системы Ох, Оу, Oz, то уравнения координатных поверхностей в прямоугольной и эллиптической цилиндрической системах имеют вид:

WT + Af-1=0- =const, . \

-5---5--5--1=0, о = const,

2: = const, г = const.

) Здесь полезно вспомнить замечание, сделанное в п. 3.4.1 по поводу плоских эллиптических координат.

натных поверхностей в прямоугольной системе и в системе параболических координат вращения имеют вид:

jc2+y2 = c2a2( + a2J, а = const,

Jc2 + y = c2p(p -j, Р= const.

= tg(]j, ф = const.

Координаты a, p, ф связаны с прямоугольными координатами соотношениями

X = са cos ф, у = са sin ф, z =-Ф - )-

Квадрат элемента длины и единицы локальной длины соответственно равны

ds2 = с2 (а2 + р2) (ria2 .-j- dp) 4- с2а2р 2.

Положим (а2--р2)--- й. Согласно формулам п. 3.4.2 имеем:

л, dV , I dV , I dV

Координаты (f, Z связаны с прямоугольными координатами соотношениями

JC = а ch 5 cos (р, y = ash5sin(p, z = z. Квадрат элемента длины и локальные единицы равны

ds = 2 (Ch2 I - COs2 ср) (d2 j df) + dzK

= € = a(ch!z - cosip)-, e=l. Положим (chE - Cos2 ip) - Д. Согласно формулам п. 3.4\2 имеем:

1 1 /Л

1 дЛ i

rot у4 =

I дА

1 1дА

i 1 /дЛ

°2 = I - sin ср cos ср А{) + (-

dz

3.4.8. Система вытянутых эллипсоидальных координат (вращения). При вращении семейств софокусных эллипсов и гипеобол (рис. 3.30) вокруг оси OA получаются соответственно взаимно ортогональные семейства вытянутых эллипсоидов врашения и двуполостных гиперболоидов вращения. Они образуют две системы координатных поверхностей. Третья система

состоит из полуплоскостей, проходящих через ось вращения. Если принять ОЛ, ОВ, ОС (ОС - перпендикуляр в точке О к плоскости ОАВ) за оси Oz, Ох, Оу, то координатные поверхности в прямоугольной системе и в системе вытянутых эллипсоидаль--ных координат имеют вид:

х+у . г

achZ г

а sin ш

Рис. 3.30.

1=0, £ = const, 1=0, ср = const, dl = const.

X . ,

Если ограничить изменения координат следующими интервалами:

0<Е<+ОО, 0<<р<7Г, 0<ф<27Г,

то все точки пространства пробегаются по одному разу.

Уравнение ? = 0 соответствует вырожденному эллипсоиду-отрезку прямой FF. Уравнение ср = 0 соответствует вырожденному гиперболоиду - прямой с вырезанным отрезком FF.

Координаты (р, ф связаны с прямоугольными координатами х, у, z соотношениями:

JC = а sh sin ipsini];, у = а sh sin-f cos ф, .г = a ch i cos ср.

Квадрат элемента длины и единицы локальной длины соответственно равны

ds = а2 (ch2 £ - cos2 <р) {d + df) + а2 sh2 sin2 ср df. е = е2= a(chi - cosip) , 3 = a sh csinip.

Положим для упрощения записи A~{ch - cosip) . Согласно формулам п. 3.4.2 имеем:

аД V <5S do / a sh S sin у

/ 1 1 \ 1 дА

го1е - 4 + - а sn = sin у ЩГ

1 ал, 1/1 дЛф

rot Л = -7гт------1г\-:г-гА,---~ ,

<Р flshSsintf) # аД VthS * dg /

1 1 /dл ал. Л

rot л = (ch £ ch IЛ - cos ср sin ср АО + -- I;

д 1 / 1 дУ 1 дУ дУ дУ\ , 1 дУ

~~ а2Д2 d£ tg о do dg2 + dfflS ) a sh S sin у d

3.4.9. Система сплюснутых эллипсоидальных координат (вращения). При вращении семейств софокусных эллипсов и гипербол (рис. 3.30) вокруг оси ОВ получаются взаимно ортогональные семейства сплюснутых эллипсоидов вращения и однополостных гиперболоидов вращения. Они образуют две системы координатных поверхностей. Третья система состоит из полуплоскостей, проходящих через ось вращения. Если принять OA, ОВ, ОС (ОС - перпендикуляр к OA и ОВ) соответственно за оси Ох, Oz, Оу, то координатные поверхности в прямоугольной системе и в системе сплюснутых эллипсоидальных координат имеют вид:

+ = const. .

-5-о---5---1=0, ср = const,

cos-* <f sin ш .

--tgi];, ф = const.

Координаты 5. ч> 4* связаны с координатами х, у, z соотношениями

x = ach£cos(psin(b, у = асЬсо8(рсо8ф, 2:= а sh t simp. Квадрат элемента длины и единицы локальной длины равны

ds = а? (Ch2 I - C0S2 <р) (й + rf<p2) 4- 2 Ch2 I C0S2 <p Йф2

6 - 6 = a (ch2 P - cos cp)\ = a ch E cos ip.

Пусть длина интервала возможных значений ф равна 2тг. Тогда все точки пространства пробегаются по одному разу в следующих двух случаях:

1) 0<:<4-сх>, --<ср<-;. .

2) - .. -oo<;<-t-o3. 0<<р<:-.