Ib4 ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [ГЛ HI

Уравнения поверхностей = 0 и (р=0 описывают в прямоугольной системе координат вырожденный эллипсоид (внутренность круга диаметра FF, лежащего в плоскости хОу) и вырожденный гиперболоид (плоскость хОу с вырезанным кругом диаметра FF). В первом случае для точек, находящихся над или под рассматриваемым кругом, имеет место (р > О или ср < О, Во втором случае для точек, находящихся над или под плоскостью с вырезанным кругом, имеет место > О или < 0.

Положим Д - (ch21 - cosip). Согласно формулам п. 3.4.2 имеем:

\ dV , \ dV , 1 dV

div Л=-. [th е (2 ch2S - cos2ср) + tg ср(2 cos2ср - ch2 о +

1 1дА дА\ 1 дА

ah \ df ) й ch S cos f

1 /аЛф I 1 дА

- ФФ/- fichScosf аф

1 ал 1 /(?Лх N - -асьесозср -W-\~dr4 1 1 /ал ал\

- £ ch Е Л - sin ср cos ср А) + - ;

, av , av ау , ai/\ , i dv а2д2 \ ae gf а as a j~achicosf аф

3.4.10. Система бицилиндрических координат. Рассмотрим два орт©-гональных семейства окружностей (рис. 3.31):

1) окружности, центры которых находятся на оси ОХ. вида

Х+У2~2аХ cthi+a = 0; (а)

2) окружности, центры которых находятся на оси OY, вида

2 j )/2 2aFctg<p- 2 = 0. (б)

Окружности (б) проходят через точки F и F, в которые вырождаются окружности (а) при £= ±оо.

Пусть ось OZ перпендикулярна к плоскости ХОУ. Если рассматриваемые окружности перемещать параллельно оси OZ, то получаются два взаимно ортогональных семейства круговых цилиндров. Они образуют две системы координатных плоскостей. Третья система состоит из плоскостей, параллельных XOY. Если принять ОХ, ОУ, OZ соответственно за оси Ох, Оу, Oz, то координатные поверхности в прямоугольной и бицилиндрической системах координат имеют вид:

х2 4-у2 2алс1Ь t--a2 = 0, е = const,

x2-f-y2 j 2(2yctg(p- 2=0, ср = const,

2; = const, 2: = const.

Следовательно, координаты ip, z связаны с координатами х, у, z соотношениями

sh с sin f

х= а. - . г ,--> у = а -г-гт-, г - z. !

-en S + cos f ch i + cos f

. Окружности семейства (а) целиком расположены справа или слева от оси Оу соответственно при положительном или отрицательном значении . При 5= +00 цилиндры (а) вырождаются в прямые, параллельные оси Oz и проходящие через F и плоскость yOz задается уравнением (а) при = 0.

Значение параметра tf, соответствующее любой окружности семейства (б), определяется лишь с точностью до Air. Поэтому будем считать, что ip лежит в интервале О < ip <; тг. Отсюда следует, что точки окружностей семейства (а), симметричные относительно оси ОХ, имеют координаты <f и тг - (р для точек нижней полуплоскости <? < j Если

полоса плоскости xOz, заключенная между двумя фокальными линиями, выражается уравнением (р -~ О, то часть этой же плоскости вне полосы имеет уравнение (p = ir.

Легко показать, что угол FmF = Tz - ip или ip в зависимости от положения точки пересечения окружностей т на верхней или нижней цуге и

, тР что, = 1п. .

Квадрат элемента длины и локальные единицы равны

Рис. 3.31.

ch S -- cos ш

е, = 1.

Положим ch£+coS(p = X. Согласно формулам п. 3.4.2 имеем:

л хг dV ... У. dV

1 X / ал

div л = - (sin <рЛ - sh Л) + -

grad, К = (9Л \ дА,

rot А ~

TOiA--

К ал ал

а да I / дА,

d£

rot,A==-

3? /

X дА

X /(?Л дАЛ 1

... }fi(dV

d<f

3.4.11. Системы тороидальных и бисферических координат. 1. При

вращении фигуры на рис. 3.31 вокруг оси 0Y окружности (а) и (б) образуют ортогональные семейства торов и сфер. Третья система координатных поверхностей рассматриваемой тороидальной системы координат состоит из полуплоскостей, проходящих через ось вращения. Примем оси ОХ, OY, OZ соответственно за оси Ох, Oz, Оу. Уравнения координатных поверхностей

- ch £ cos ш ch 5 + cos ip . Положим ch Е-j-cos 9 = X, Согласно формулам п. 3.4.2 имеем:

1 - sh2£-)-ch5cos ш 2sin<f к / дА к rMj,

=---Ж--+->+а1-аГ-1)Г) + Ж Ж =

sin и I fdA, I dA\

a a \ d<p sh £ /

/ 1 дАг dAi, \ 1 -f ch £ cos f

ф Vihl дф аГ/ ч

X / дА дА N sin у sh £ rot ,A--i-37--г----Af --А ;

АУ - (i + cos¥ch£) дУ , Xsinw о1/ JV / aV П дУ\

~ аShi di а а? + аМ а£2 ~ да + sh £ д<\> }

2. При вращении фигуры на рис. 3.31 вокруг оси ОХ окружности (а) и (б) образуют соответственно две сферы и ортогональные им тороидальные поверхности. Эти тороидальные поверхности отличаются от торов, полученных выше при вращении рис. 3.31 вокруг оси OY. так как окружности семейства (б) пересекают ось врашения. Третья система координатных поверхностей бисферической системы координат состоит из полуплоскостей, проходящих через ось вращения. Отметим, что при определенных условиях сферы вырождаются в две точки F и F, играющие роль полюсов. Поэтому

*) Обычно в знаменателях формул связи между тороидальными и прямоугольными координатами стоит знак минус. Это соответствует замене у на л - у (см., например, [6]). .

Б прямоугольной и тороидальной системах имеют вид:

(х2-+-/+22+а2)2-4a2(x2+y2)ctli2t = 0, £ = const; x2 -- у2 -f- - az ctg (p - a2 = 0, cp = const;

y = tg(]j, ф.= const.

Координаты ip, Ф связаны с координатами x, у, z соотношениями

sh i sin Ф sh ? cos ф sin ш

x = a . ,--, у = a r ,--> z - - a . л ,--

ch s -f- cos tp ch £ -f- cos ш ch £ -)- cos f

Bee точки пространства пробегаются по одному разу, если изменение координат ip, ф ограничить интервалами

О < е < -Ь сю, - тс ,< <р < тг, О < ф < 2it.

Уравнение Е=4-оо соответствует вырожденному тору - кругу с диаметром FF. Этот же круг получится, если мы примем с>=0. Внешность этого круга (плоскость, из которой вырезан рассматриваемый кр}гг) вы*-ражается уравнениями 9 = ± тс. ,

Квадрат элемента длины и локальные единицы равны

а а sh с

е. - е., = ... г I . е.. = -