строки и*два столбца. Каждый элемент строки матрицы а умножают на соответствующий элемент столбца матрицы и полученные произведения складывают. Например, элемент f матрицы произведения, находящийся на пересечении первой строки и второго столбца, является суммой произведений первого элемента первой строки матрицы а на первый элемент второго столбца р и второго элемента той же строки а на второй элемент того же столбца р:

Tl2 = llPl2 + 12P22-

4.1.6. Представление вектора посредством матрицы. Дан вектор и с составляющими Kj, 2- можем представить его как матрицу

L 2.

Преобразование вектора и с помощью операции, определяемой матрицей а, состоит теперь в умножении матриц

Применяя предыдущее правило, получаем координаты вектора v:

i = aii i + i2 2-

02 = а21И,Н-а22И2-

4.1.7. Обобщение на га-мерное пространство. Все, что мы говорили о двухмерном пространстве, легко обобщить на -мерное пространство.

Пусть дан вектор и с координатами а, Ид- > и,. Группа линейных преобразований

позволяет перейти от вектора и к вектору v с координатами v, v., .... v-Матрица преобразования будет

In

ьа 1

Вектор и может быть представлен в виде матрицы, состоящей из одного столбца

Матрицу с элементами а будем обозначать через [а]. Для упрощения записи и только в том случае, когда можно не опасаться путаницы, мы будем обозначать ее просто через а. Точно так же будем обозначать через а одностолбцовую матрицу, образованную из.координат вектора.

4Л.8. Равенство двух матриц. Две матрицы равны, если определяемое ими преобразование, примененное к произвольному вектору, дает один и тот же оезультат.

получаем

т. е. соответствующие элементы, составляющие две равные Матрицы, должны быть равны.

4.1.9. Сложение двух матриц. Даны векторы v к w, полученные последовательным применением к одному и тому же вектору и преобразования, определяемого матрицами а и р:

v = aa.

Сумму v--w можно получить, применяя к вектору и преобразование, определяемое матрицей 7, которая получена сложением соответствующих элементов матриц а и :

Матрица i называется суммой двух матриц аир. Сложение матриц определено только в том случае, когда они имеют одинаковое число строк и столбцов. Например,

4.1.10. Умножение матрицы на число. Из предыдущего определения следует, что если нужно сложить X одинаковых матриц а, т. е. умножить матрицу а на число X, то результат этой операции можно получить, умножив каждый элемент матрицы а на X:

Например,

Г 1 -1 О

2 0-3 4 -1 -2

7 -7 14 О

28 -7

Оп -21 -14

4.1.11. Умножение матриц. Вектор w может быть получен последовательным применением к вектору и преобразований, определяемых матрицами р и а. Перейдем, как в п. 4.1.5, от й к ау непосредственно, путем преобразования, определяемого матрицей 7.

Имеем

у = 2 ni

откуда

Сравнивая с

получаем правило умножения матриц а и [3

1jk = <iAk

определяющее матрицу произведения

Т = Р-

Следовательно, элемент на пересечении строки j и столбца k матрицы f мы получим, умножая первый член строки j матрицы а на первый член столбца k матрицы р и складывая с аналогичным произведением вторых членов, потом третьих и т. д. по схеме рис. 4.4. Итак, правило умножения, описанное в п. 4.1.5 для случая матриц в две строки и два столбца, имеет общий характер.

Рассмотрим совокупность линейных преобразований, переводящих вектор и в вектор V.

<Ift ft-

Эти преобразования можно получить, применив правило умножения матриц:

... а

Иначе говоря.

C rpff/faJ Столбец к

Рис. 4.4.

- аи.

Замечания. 1. Мы видели, что умножение матриц - некоммутативная операция, но легко показать, что эта операция ассоциативная, т. е. что

Из правила умножения матриц непосредственно видно что определитель произведения матриц равен произведению определителей. Поэтому если

4=--Т.

к11Р1 = 1т1.

где а, р и If]-определители соответствующих матриц. Понятно, что это замечание имеет смысл только в случае квадратных матриц.

2. Очевидно, что понятие произведения двух матриц приложимо не только к квадратным матрицам или матрицам в одну строку или один столбец, но и к прямоугольным матрицам. Однако важно отметить, что произведение матриц имеет смысл только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.