Примеры. Применяя изложенные выше правила умножения, получаем следующие результаты:

~3 -2

. 2 О

0] го 1 1

1 J [5

-4-7 О 3

О -

41 О

II -1 4]

[1 -3 2]

Г 4

-1 О

4т 2 1

- 2 3

1 -л

- 1 6 7-1 О 1

-4 1

4 6 ! -9 -15 2 9

-5+37 1-47 13т

- 6,

= [7 -2 6].

-1+77 -27

4.1.12. Симметричные матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу а. Общий элемент ее а находится на пересечении строки i и столбца к:

Элементы ац, о......а-., .... а.

nk

a j, расположенные по нисходящей

диагонали слева направо, образуют так называемую главную диагональ матрицы.

Симметричной называют матрицу, элементы которой, расположенные симметрично по отношению к главной диагонали, равны между собой:

- симметричные матрицы.

4.1.13. Кососимметричные матрицы. Кососимметричной называют матрицу, элементы которой, расположенные симметрично по отношению к главной диагонали, равны по величине и противоположны по знаку:

Из определения следует, что все элементы главной диагонали кососимметричной матрицы равны нулю: а = 0. -

Следующие матрицы кососимметричны:

4.1.14. Диагональные матрицы. Диагональной называется матрица, все элементы которой равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали:

= О для I Ф k, ф О для i = k.

Например, матрица

0-1 О

диагональна.

Легко показать, что произведение двух диагональных матриц - тоже диагональная матрица и что они перестановочны.

4.1.15. Единичная матрица. Нулевая матрица. Единичная матрица - это диагональная матрица, все элементы которой равны, единице. Будем обозначать ее через [1]. В матричном исчислении она играет такую же роль, как число 1 в алгебре. Здесь удобно ввести символ Кронекера 8;, который понадобится нам в дальнейшем. Этот символ равен нулю при i Ф k и единице при i ~ k. Пользуясь этим обозначением, получаем для единичной матоицы

- - Ли-

Ik-

например, в 3 строки и 3 столбца может быть напи-

Единичная матрица, сана так:

Единичная матрица преобразует .любой вектор в самого себя:

[1] = й.

Действительно,

Соотношение [1]и = и соответствует формуле \-a~a для чисел.

Нулевая матрица--это матрица, все элементы которой равны нулю. Мы обозначим ее через [0]. В матричном исчислении она играет ту же роль, что число нуль в алгебре.

4.1.16. Порядок, ранг матрицы. Если квадратная матрица имеет строк и столбцов, то число п называется порядком матрицы.

Если определитель- матрицы равен нулю, говорят, что она вырождена.

Минором матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием из матрицы одинакового числа столбцов и строк. Если все миноры порядка выше г, которые можно составить из матрицы, равны нулю, а среди миноров порядка г хотя бы один отличен от -нуля, то число г называется

рангом этой матрицы. Иначе говоря, ранг матрицы равен наивысшем} порядку отличных от нуля миноров матрицы.

Пример. Матрица .

вырожденная. Порядок ее равен 4, а ранг 1.

4.1.17. Необходимые условия равенства нулю произведения двух матриц. Рассмотрим произведение двух квадратных матриц порядка п, имеющих ранги / i и г. Можно доказать, что ранг г матрицы произведения удовлетворяет неравенствам: . -

/</-1 и /</-2. (*)

+ ->/-1 + /-2. (**)

Пусть даны две квадратные матрицы а и порядка , такие, что

В отличие от алгебры,. где равенство аЬ = 0. влечет за собой одно из равенств й = 0 или b - Q, произведение двух матриц может быть нулевой матрицей и в случае, когда оба сомножителя отличны от нуля (точнее, от нулевой матрицы).

Пусть матрицы а и - ненулевые. Если их произведение равно нулю, значит, равен нулю ранг г матрицы этого произведения. Следовательно, в этом случае неравенства (*) всегда удовлетворяются. Неравенство (**) дает необходимое (но не достаточное) условие, которому должны удовлетворять ранги матриц-сомножителей:

Отсюда следует, что обе матрицы обязательно вырождены. Представим себе такой случай: матрица а вырождена, но один из ее миноров, составленный из -1 строк и столбцов, не равен нулю. Тогда ранг а равен п-1. Так как ранг матрицы не равен нулю, то в силу предыдущего неравенства он может быть равен только единице. Но, как легко .заметить, квадратная матрица может быть ранга 1 только в том случае, если все ее элементы пропорциональны. Следовательно, матрица обязательно имеет вид

Pii CiPii ... cs Pi,

Р21 121 n?21

Пример ы.

1 О О О

0 10 0

0 0 0 0

.0 О О О

где. [0] означает нулевую матрицу порядка п.

= [0)4

= [0]з.